矩形常见题型.docVIP

矩形、正方形典型例题

1．如图所示，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上BF∥DF，若AD＝12cm，AB＝7cm，且AE：EB=5：2，则阴影部分的面积为.

分析：由已知可判断四边形EBFD是平行四边形．由平行线之间的距离处处相等，可知BE边上的高与AD的长相等．因此求BE的长是关键．

解：设每一份为x，则AE=5x,BE=2x.

四边形ABCD是矩形

在四边形BEDF中

2．如图△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角线于点F.（1）求证：EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？证明你的结论．

分析：先证∠OCE＝∠OEC就有EO＝CO，同理有FO＝CO，即有EO＝FO．

当0运动到AC的中点时，四边形AECF对角钱互相平分．∠EcF＝90°.则四边形AECF为矩形．

证明：（l）∵MN∥BC，

∴∠1=∠3

又∵CE为∠ACB的角平分线，

∴∠1＝∠2，

∴∠2=∠3，∴OE＝OC，

同理可证OF＝OC，∴OE=OF

（2）当O运动到AC的中点时，

四边形AECF为矩形，因为AO＝OC，OE＝OF.

解：由矩形的特征，

AC＝EF，由AE∥CF，

CE∥AF知BECD是平行四边形，故AE＝CF，从而AC＝FE．

如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，AE与BD相交F，求证：CF⊥DE

分析本题考查正方形性质及全等三角形的判定与性质，要证CF、DE互相垂直，只需证明∠DGC＝Ｒt∠，可联想∠3与∠4互余.根据正方形性质，容易得到△ABF≌△CBF，△ABE≌△CDE，于是有∠1＝∠2＝∠3，而∠2+∠4＝90°，可得∠3+∠4＝90°

证明：∵AB＝BC，∠ABF＝∠CBF，BE＝BE

∴△ABF≌△CBF∴∠1＝∠2

∵AB＝CD，BE＝CE，∠ABE＝∠DCE

∴△ABE≌△DCE∴∠1＝∠3

∴∠2＝∠3又∵∠2+∠4＝90°∴∠3+∠4＝90°

∴∠DGC＝180°-(∠3+∠4)＝90°∴CF⊥DE

4．如图，正方形ABCD对角线相交于O，E是OA上任一点，CF⊥BE于F.CF交OB于G，求证：OE＝OG.

分析本题是考查正方形的性质、同角的余角相等关系及全等三角形的判定与性质.OG和OE可分别看作是△OGC与△OEB的最短边，若能证两三角形全等，则命题得证.由正方形性质有OC＝OB，∠COG＝∠BOE＝90°而∠1和∠3为∠2的余角，于是∠1＝∠2

证明：∵ABCD是正方形∴OB＝OC∴AC⊥BD

∴∠COG＝∠BOE＝90o

又∵CF⊥BE∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝90o

∴∠1＝∠3

在△COG和△BOE中

∠1＝∠3

BO=CO

∠COG＝∠BOE

∴△COG≌△BOE(ASA）

∴OE＝OG

菱形典型例题

1、如图4-24，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．

思路分析

由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形AEFG是平行四边形，再证一组邻边相等．

证明：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，

∴AE=EF，∠CEA=∠CEF．

（这是略证，并不是完整的证明过程）

∵AD⊥BC，EF⊥BC，

∴EF∥AD，（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）

∴∠CEF=∠AGE，（两直线平行，内错角相等）

∴∠CEA=∠AGE，∴AE=AG，

∴EF∥AG，且EF=AG，

∴四边形AEFG是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

又∵AE=EF，∴平行四边形AEFG是菱形．

2、如图在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点