串讲01 三角计算（考点串讲） （解析版）.docx

串讲01三角计算

一、知识网络

二、常考题型

三、知识梳理

1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式

两角和与差的余弦公式：.

两角和与差的正弦公式：

两角和与差的正切公式：

2.二倍角的正弦、余弦及正切公式

(1)sin2α＝2sinαcosα(S2α)．

(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α(C2α)．

(3)tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)(T2α)．

3.二倍角公式的变形

（1）．降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).

（2）．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.

4．辅助角(“二合一”)公式：

asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，

其中cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2)).

5.正弦定理和余弦定理

定理

正弦定理

余弦定理

内容

eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)

a2＝b2＋c2－2bccosA

b2＝a2＋c2－2accosB

c2＝a2＋b2－2abcosC

常见

变形

①a＝2RsinA，

b＝2RsinB，c＝2RsinC

②sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)

③a：b：c＝sinAsinBsinC

④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA

cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)

cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)

cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)

解决解斜三角形的问题

(1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边

(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角

(1)已知三边，求各角

(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角

6.在△ABC中，常有以下结论

1．∠A＋∠B＋∠C＝π.

2．在三角形中，大边对大角，大角对大边．

3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

4．sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC

5．∠A∠B?ab?sinAsinB?cosAcosB．

7.三角形常用面积公式

(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示a边上的高)．

(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.

四、常考题型探究

考点一公式的直接应用

1．(1)求值：cos15°＝；

(2)求值：sin7°cos23°＋sin83°cos67°＝；

(3)求值：sin70°sin65°－sin20°sin25°＝.

(4)tan255°＝()

A．－2－eq\r(3) B．－2＋eq\r(3)

C．2－eq\r(3) D．2＋eq\r(3)

【解析】(1)cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°·cos30°＋sin45°·sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).

(2)原式＝cos83°cos23°＋sin83°sin23°＝cos(83°－23°)＝cos60°＝eq\f(1,2).

（3）原式＝sin70°cos25°－cos70°sin25°＝sin(70°－25°)＝sin45°＝eq\f(\r(2),2).

(4)tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝eq\f(1＋\f(\r(3),3),1－1×\f(\r(3),3))＝eq\f(3＋\r(3),3－\r(3))＝eq\f(12＋6\r(3),6)＝2＋eq\r(3).

2．计算：cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝.

【解析】原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝eq\f(1,2).

3．求值：sin347°cos148°＋sin77°cos58°；

【解析】(1)原式＝sin(360°－13°)cos(180°－32°)＋sin(90°－13°)cos(90°－32°)