公理化系统学习指导.pdf

公理化系统学习指导

１几何公理法的产生和形成

几何公理法是随着几何学的发展而产生和形成的．这一过程大体上可以表示如下：

几何起源

加工整理中

希腊人的工作

（公理法萌芽）

欧几里得

《几何原本》

（古典公理法）

对《几何原本》的第五公设问题

公理进行改造和补充

希尔伯特的《几何基础》非欧几何的产生

（近代公理法）

初等几何学成为系统的科学体系，大体上是经历了如下的过程：

起源积累加工整理系统的科学

经验的方法理性的方法

经验几何学推理几何学

公理化几何学

公理法的产生是历史的必然．恩格斯对这一过程曾作过精辟的论述：“经验自然科学积

累了如此庞大数量的实证的知识材料，以至在每一个研究领域中有系统地和依据材料的内在

联系把这些材料加以整理的必要，就简直成为无可避免的．建立各个知识领域互相间的正确

1

联系，也同样成为无可避免的．因此，自然科学便走进了理论的领域．而在这里经验的方法

就不中用了，在这里只有理论的思维才能有所帮助．”他说出了科学发展的过程；从庞大的

零散知识材料发展成为系统的科学体系的必要性和必然性；以及应采用的方法．几何学的公

理方法就是在理论思维过程中逐步形成的有效方法之一．

《几何原本》是一部不朽的经典著作．欧几里得前期的工作为欧几里得的《几何原本》

作了大量的准备工作，在内容、理论和方法上提供了素材，这一阶段虽然经历了较长的时期，

但集中体现在希腊人的工作上．欧几里得本人的工作是在前人工作的基础上写出了《几何原

本》一书，它集前人工作的大成，为几何学公理法奠定了初步的基础．欧几里得以后的工作

可以分成两条主线，它们主要是围绕着欧几里得《几何原本》进行的，直到希尔伯特所著的

《几何基础》的出现为止．

第一条主线主要是通过对第五公设的试证，找出了许多与第五公设等价的命题，明确了

第五公设的重要地位，丰富和严格了几何的论证方法等．特别重要的是导致非欧几何的出现，

从而证明了第五公设的独立性，进一步显示了公理方法的重要作用和意义．这些都毫无疑问

地对公理法的形成起了深化、补充和推动作用．而第二条主线则直接导致近代公理法的最后

形成．希尔伯特对公理法的重要贡献是：一方面在他所著的《几何基础》里给欧几里得几何

确立了一套完整的公理系统，并按其作用自然地划分成五组，同时示范性地用这套公理系统

演绎出欧氏几何学的基本内容，使欧氏几何学的逻辑结构严密而且清楚．另一方面，提出选

择公理系统时应考虑的三个基本问题，即公理系统的相容性（即无矛盾性）、独立性和完备

性，并给出证明相容性和独立性的一些方法等．

总而言之，不论是直接发展还是间接的推动，几何学和其它科学一样，是由生产实践的

需要而产生和发展起来的．

２．公理法的构造和原理

概括地说，几何学的公理化方法是从少数原始概念和公理出发，遵循逻辑原则建立几何

学演绎体系的方法．用以导出其它几何原理的不再加以证明的基本原理称为公理，用以解释

其它概念而本身不再加以定义的概念称为基本概念（原始概念），它们的性质只由公理来制

约，除了这些公理和不加定义的基本概念以外，其它的定理和概念都必须由这些公理和基本

概念逻辑地推导得出，这种方法就是所谓的公理法．

公理法的结构由下列四部分构成：

（１）原始概念的列举；

（２）定义的叙述；

2

（３）公理的叙述；

（４）定理的叙述和证明．

公理法的四个部分是有机地结合在一起的，缺一不可，其中公理的列举是核心．公理是

作为几何论证基础而不加证明的命题，是几何学作为出发点建立一种几何体系的少数规定，

它规定了最基本的几何元素之间的一些基本性质，成为证明其