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圆柱与圆锥（能力提升题）

专项一：圆柱、圆锥切割问题

例1：把一个圆柱沿底面直径竖直切成2块，表面积增加了24cm2。若平行于底面切成三块，表面积增加了50.24cm2。若削成一个最大的圆锥，则体积减少多少立方厘米？

分析：这类问题要弄清楚增加或减少的表面积或体积是哪一部分，与原图形的什么量有关系。由平行于底面切割的条件，可以求出底面积，进而求出底面半径；根据沿底面直径切割的条件，可以求出底面直径乘高的结果，再根据前面求出的半径，可以求出圆柱的高，进而求得圆柱的体积，也就可以求出体积减少多少了。

解答圆柱的底面积：50.24÷4＝12.56（cm）

r2：12.56÷3.14＝4（cm2）r＝2cm

圆柱的高：24÷2÷（2×2）＝3（cm

圆柱的体积：3.14×22×3＝37.68（cm3）

减少的体积：37.68×（1－13）＝25.12（cm3

反馈练习

把一个圆柱沿两条垂直的底面直径竖直切成4块，表面积增加了192cm2；平行于底面切成两块，表面积增加了56.52cm2，原来圆柱的体积是多少立方厘米？

2.若把一个圆柱平行于底面切去2cm厚，则表面积减少50.24cm2，体积变成原来的。如果将这个圆柱切成一个最大的圆锥，那么圆锥的体积是多少立方厘米？

专项二：利用比的知识解决圆柱、圆锥问题

例2：一个圆柱和一个圆锥底面半径的比是2∶1，高的比是1∶3，它们的体积和是31.4cm3。圆柱和圆锥的体积各是多少立方厘米？

分析：解决此类实际问题，通常需要根据题目中给出的已知量的比，求出未知量的比或未知量与已知量的比，然后再结合已知量求出未知量。根据“圆柱和圆锥底面半径的比是2∶1”可知，圆柱和圆锥底面积的比是22∶12＝4∶1。然后结合圆柱和圆锥底面积的比和高的比，求出它们的体积比。再把“31.4cm3”按体积比进行分配，分别求出圆柱和圆锥的体积。

解答圆柱和圆锥底面积的比：22∶12＝4∶1

体积比：（4×1）∶（1×3÷3）＝4∶1

圆柱的体积：31.4×＝25.12（cm3）

圆锥的体积：31.4×＝6.28（cm3）

答：圆柱的体积是25.12cm3，圆锥的体积是6.28cm3。

反馈练习

3.一个圆柱与一个圆锥的体积相等，圆柱的高与圆锥的高之比是4∶9，圆锥的底面积是25.12cm2，圆柱的底面积是多少平方厘米？

4.一个圆柱，底面直径与高的比为8∶5，如果这个圆柱的表面积是1800dm2，这个圆柱的底面积是多少平方分米？

5.将两个底面半径比是3∶2，高都是5cm的圆柱底面圆心相对叠放在一起，表面积减少了25.12cm2，叠放后的立体图形的体积是多少？

专项三：圆柱圆锥中的注水问题

例3：一个圆柱形的玻璃杯中盛有水，水面高28cm，玻璃杯内侧的底面积是128cm2，在这个杯中放进棱长为8cm的正方体铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米？

分析：这类问题可以抓住其中不变的量，由题目中的条件可知水的体积是不变的。所以先求出水的体积，而现在水的体积为包含水的圆柱的体积减去正方体入水部分的体积，根据两种情况下水的体积是相等的这一等量关系，可以求出水面的高度。

解答：设这时水面高xcm。

128x－82x＝2.8×128

64x＝358.4

x＝5.6

答：这时水面高5.6cm。

反馈练习

6.一个圆柱形的玻璃杯中盛有水，水面高3cm，玻璃杯内侧的底面积是108cm2，在这个杯中放进棱长为6cm的正方体铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米？

7.一个高50cm的圆柱形容器内，放有一个高为20cm的长方体铁块。打开水龙头往容器内注水3分钟，水正好没过长方体顶面。再注水18分钟，水灌满了容器。圆柱形容器的底面积与长方体底面积的比是多少？

8.有A、B两个圆柱形容器，最初在A容器里装有2L水，B容器是空的。现在往两个容器里以每分钟0.4L的流量注入水，4分钟后，两个容器的水面高度相等。如果B容器的底面半径是5cm，求A容器的底面直径是多少。

参考答案

1.192÷8＝24（cm2）56.52÷2＝28.26（cm2）

28.26÷3.14＝9（cm2）9＝3×324÷3＝8（cm）28.26×8＝226.08（cm3）

提示：沿垂直的两直径切，增加了8个以r，h为边的长方形，平行于底面切，增加了两个底面。由一个底面积求出半径，再求出高，最后用底面积乘高求体积。

2.50.24÷2＝25.12(cm)25.12÷3.14＝8(cm)2×5＝10(cm)

×3.14×（）2×10≈167.5（cm3）

提示：表面积减少50.24cm2，即为减少的部分的侧面积，即可求出底面周长，从而求出底面直径。

3.圆柱与圆锥的底面积之比为（1÷4）∶（1×3÷9）＝3∶4

25.12×＝18