2024–2025学年初升高数学衔接及预备知识（全国）衔接点01 乘法公式（原卷版）.docx

衔接点01乘法公式

1、掌握平方差公式，完全平方公式的形式，意义和应用

2、能够熟练的运用平方差公式，完全平方公式展开与化简

3、掌握立方和，立方差公式，并能灵活展开与化简

4、掌握三数和公式展开过程，并能灵活应用

1、初中知识再现

（1）平方差公式：；注意公式的正逆应用.

（2）完全平方公式：

（3）高频应用方式：

①

②

③

④

⑤

⑥

2、高中相关知识

（1）立方和公式：

（2）立方差公式：

（3）两数和立方公式：

过程：

（4）两数差立方公式：

过程：

（5）三数和平方公式：

过程：

对点特训一：平方差公式的应用

典型例题

例题1．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）一个长方形的宽为，长为，则这个长方形的面积是（???）

A． B． C． D．

例题2．（23-24七年级下·辽宁锦州·期中）下列各整式乘法能用平方差公式计算的是（????）

A． B．

C． D．

例题3．（2023·浙江丽水·模拟预测）先化简，再求值：，其中．

精练

1．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）下列不能用平方差公式计算的是（）

A． B．

C． D．

2．（23-24六年级下·山东泰安·阶段练习）已知，，则．

3．（2024·吉林长春·一模）先化简，再求值：，其中．

对点特训二：完全平方公式的应用

典型例题

例题1．（2023·广西南宁·模拟预测）阅读材料：数学计算中常利用公式变形求解，例如“已知，，求的值．”可以这样解：将完全平方公式变形得到．请根据阅读材料解决问题：如图，已知长方形周长为，，则的值是（????）

A． B． C． D．

例题2．（23-24七年级下·河南郑州·阶段练习）若，则的值是（????）

A．4 B．8 C．12 D．16

例题3．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）读材料，解答下列问题：

若，求的值．

小明的解题方法：

，，

∴10．

小亮的解题方法：

设：，，则，

∴．

(1)任选材料中一种方法解答：若，求的值；

(2)如图1，长方形空地，米，米，在中间长方形上安放雕塑，四周剩余的宽度相同，设该宽度为x米，则长方形中，米，米（用含x的代数式表示）；

(3)在（2）的条件下，如图2，以长方形四边为直径在形外做半圆，在四个半圆里种花，若长方形的面积为平方米，求种花的面积．（结果保留π）

精练

1．（23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）仔细观察下图，依据图形面积间的关系，不添加辅助线，便可得到一个熟悉的公式，这个公式是（???）

??

A． B．

C． D．

2．（2023·吉林四平·模拟预测）先化简，再求值：，其中．

3．（2023·海南海口·模拟预测）（1）计算：；

（2）化简．

对点特训三：乘法公式延伸：立方和、立方差公式的应用

典型例题

例题1．（23-24八年级上·北京·期中）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：；立方差公式：；根据材料和已学知识，化简结果为；当时分式的值为．

例题2．（23-24八年级上·山东淄博·期中）杨辉，南宋杰出的数学家和数学教育家．杨辉研究了二项式定理，并根据此定理研究了两数的立方和、立方差、三数的立方和等公式．

方法提取

数学学习活动，是在公式化体系的不断完善中进行的．我们已经学习了平方差公式，在平方差公式的基础上，可以对式子a3﹣b3进行如下推导：

．

对于，称为立方差公式．

公式推导

（1）请参考“立方差公式”的推导过程推导立方和公式：．

学以致用

（2）请灵活运用公式进行因式分解：

①；

②．

③

例题3．（23-24八年级上·河南信阳·期末）阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：

立方和公式：；

立方差公式：．

根据材料和已学知识解决下列问题

(1)因式分解：；

(2)先化简，再求值：，其中．

例题4．（23-24八年级上·江西南昌·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．

杨辉，南宋杰出的数学家和数学教育家。杨辉研究了二项式定理，并根据此定理研究了两数的立方和、立方差、三数的立方和等公式。两数的立方差公式是：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2），这个公式的推导过程如下：a3﹣b3＝a3﹣a2b+a2b﹣b3＝a2（a﹣b）+b（a2﹣b2）＝a2（a﹣b）+b（a+b）（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．

(1)利用上述方法推导立方和公式a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）（从左往右推导）；

(2)已知a+b＝1，ab＝﹣1，a＞b，求a2+b2，a3﹣b3的值．

精练

1．（23-24七年级上·上海松江