专题04 随机变量及其分布（考点串讲+热考题型）（高教版2021·拓展模块下册）（解析版）.docx

专题04随机变量及其分布

考点串讲

考点串讲

考点一、离散型随机变量及其分布

（1）随机变量的基本概念

随机变量的概念：

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.常用希腊字母、等

表示．

离散型随机变量的概念：

对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．

连续型随机变量的概念：

对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量．

（2）离散型随机变量的分布列及其数字特征

离散型随机变量的分布列：

设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列．

ξ

x1

x2

…

xi

…

P

P1

P2

…

Pi

…

注：分布列的两个性质：

任何随机事件发生的概率都满足：，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．

由此可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：

，；

，．

考点二、离散型随机变量的期望和方差

一般地，若离散型随机变量X的分布列，如下表所示

X

…

P

…

则称为随机变量X的均值或数学期望，简称期望。

称为随机变量的方差，称为随机变量的标准差．

考点三、二项分布

（1）重伯努利试验(次独立重复试验)：

我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.

将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验.

（2）二项分布：

一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为，.如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作．

（3）二项分布的均值与方差：

若随机变量服从参数为,的二项分布，即,则,.

考点四、正态分布

（1）正态曲线

正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线显然对于任意，，它的图象在轴的上方．可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，如图②.

若随机变量的概率密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为，特别地，当，时，称随机变量服从标准正态分布．

（2）正态曲线的特点：

曲线是单峰的，它关于直线对称；

曲线在处达到峰值；

当|x|无限增大时，曲线无限接近轴．

（3）正态分布的期望与方差若，则，．

（4）正态变量在三个特殊区间内取值的概率：

；

；

．

在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统

计学中称为原则．

（5）利用正态分布求概率的两个方法

对称法：

由于正态曲线是关于直线对称的，且概率的和为1，故关于直线对称的区间概率相

等．如：

；

．

“”法：

利用落在区间内的概率分别是0．6827，0．9545，0．9973求解．

热考题型

热考题型

类型一、离散型随机变量及其分布

【例1】下面给出四个随机变量：

①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数ξ；

②一个沿x轴进行随机运动的质点，它在x轴上的位置η；

③某派出所一天内接到的报警电话次数X；

④某同学上学路上离开家的距离Y．

其中是离散型随机变量的个数为（???）

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】B

【解析】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；

对于②，沿x轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；

对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；

对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③．

故选：B．

【例2】若随机变量ξ只能取两个值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列.

【答案】答案见解析

【解析】解：由题意及分布列满足的条件知P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝3P(ξ＝1)＋P(ξ＝1)＝1，所以，故，所以ξ的分布列为：

ξ

0

1

P

【变式1】下列随机变量X不是离散型随机变量的是()

A．某机场候机室中一天的游客数量为XB．某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X

C．某水文站观察到