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专题02数列
考点串讲
考点串讲
考点一、数列的概念
(1)数列及其有关概念
一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……,第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.
数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an}.
(2)数列的分类
分类标准
名称
含义
按项的个数
有穷数列
项数有限的数列
无穷数列
项数无限的数列
(3)函数与数列的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n).
(4)数列的单调性
递增数列
从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项都相等的数列
(5)通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
通项公式就是数列的函数解析式,以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的,而数列是自变量为离散的数的函数.
(6)数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
(7)数列的前n项和Sn与an的关系
把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=a1+a2+…+an.
an=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1,n=1,,Sn-Sn-1,n≥2.))
考点二、等差数列
(1)等差数列的定义及通项公式
定义:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母表示,即(,,为常数)或(,为常数).
等差中项:如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项,即.
等差数列通项公式:
等差数列的判定方法:
(定义法);
(中项法);
(通项法,一次函数);
(和式法,其图象是过原点的抛物线上的散点).
(2)等差数列前n项和
,
(3)等差数列常用的性质
设为等差数列,公差为,则:
若,则.特别地,若,则;
下标成公差为的等差数列的项,,,…组成的新数列仍为等差数列,公差为;
若数列也为等差数列,则,,(k,b为非零常数)也是等差数列;
连续项的和依然成等差数列,即,,,…成等差数列,且公差为.
考点三、等比数列
(1)等比数列的定义
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母表示(),即:.
(2)等比中项
如果三个数、、成等比数列,那么称数为与的等比中项.其中.
(3)等比数列的通项公式
首相为,公比为的等比数列的通项公式为:
(4)等比数列的前项和公式
(5)等比数列的性质
设等比数列的公比为:
若,且,则,特别地,当时,;
下标成等差数列且公差为的项,,,…组成的新数列仍为等比数列,公比为;
若,是项数相同的等比数列,则、、(是常数且)、、(,是常数)、、也是等比数列;
连续项和(不为零)仍是等比数列.即,,,…成等比数列.
热考题型
热考题型
类型一、数列的概念
【例1】下列叙述正确的是
A.与是相同的数列 B.是常数列
C.数列的通项 D.数列是递增数列
【答案】D
【解析】数列与各项顺序不同,不是相同的数列,故错误;
数列是摆动数列,故错误;
数列,通项,故错误;
单调递增,则数列是递增数列,故正确.
故选:.
【例2】已知数列中,,,则的值为(????)
A.5 B.6
C.7 D.8
【答案】D
【解析】因为,,所以,
,.
故选:D.
【例3】数列、、、的下一项应该是(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】观察数列、、、的项之间的规律,可得根号下的数依次增加4,
故数列、、、的下一项应该是.
故选:C.
【变式1】下列说法错误的是
A.数列4,7,3,4的首项是4
B.数列{an}中,若a1=3,则从第2项起,各项均不等于3
C.数列1,2,3,…就是数列{n}
D.数列中的项不能是代数式
【答案】B
【解析】根据数列的相关概念,可知数列4,7,3,4的第1项就是首项,即4,故A正确;
同一个数在一个数列中可以重复出现,故B错误;
根据数列
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