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专题9圆锥曲线第二定义的应用微点1圆锥

曲线第二定义的应用（一）

【微点综述】

新人教A版高中数学选择性必修一P116及P125例5分别给出了椭圆和双曲线的第二

定义．圆锥曲线的第二定义（平面内到定点与到定直线距离的比为常数e的点的轨迹）

是圆锥曲线概念的重要组成部分，它揭示了圆锥曲线之间的内在联系，它不仅是研究圆

锥曲线图象和性质的基础，而且在很多数学问题的求解过程中，具有不可低估的特殊功

能．本文在此基础上介绍圆锥曲线第二定义的应用．

一、圆锥曲线的第二定义

2

ac

P(x,y)F(c,0)

【引例】平面上任意一点到点的距离与到直线x=的距离之比为，

ca

acP

其中，求点的轨迹方程．

PF2=c(x−c)2+y2=c22c2a22

【解析】aa，即a2a，(x−c)+y=2x−，

x−x−ac

c

c

22222222

(a−c)x+ay=a(a−c)

22

当0e1时，ac，令b2=a2−c2，得x+y1，轨迹为椭圆．

a2b2

22

222xy

当e1时，ac，令b=c−a，得−=1，轨迹为双曲线．

a2b2

由上述引例，结合抛物线的定义可得——

圆锥曲线的第二定义，也称圆锥曲线的统一定义：在平面内到定点的距离与到定直线（定

e0e1

点不在直线上）的距离之比是常数的点的轨迹为圆锥曲线．当时，轨迹为椭

圆；当e1时，轨迹为双曲线；当e=1时，轨迹为抛物线．其中定点是曲线的焦点，

e

定直线是焦点对应的准线，是离心率．

圆锥曲线上任意一点与焦点之间所连线段叫做焦半径；过圆锥曲线焦点的直线被曲线所

截得的线段叫做焦点弦．

焦半径、焦点弦是圆锥曲线中的重要考点，因其能与直线的倾斜角、向量（定比分点）、

三角形面积等知识交汇，故倍受命题人青睐，经常作为压轴题出现在考卷中，以测试考

生数学知识和思想解法的掌握和运用．

ep

约定：本文中提到的为离心率，为直线的倾斜角，为焦准距（焦点到准线的距离

22

a