串讲02 数列（考点串讲） （解析版）.docx

串讲01数列

一、知识网络

二、常考题型

三、知识梳理

知识点一：数列的概念

1.数列及其有关概念

1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．

注：数列的第n项与项数n：数列{an}的第n项为an，an在数列{an}中的项数为n

2.数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．

3.对数列概念的理解

（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．

（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．

（3）数列是一种特殊的函数

数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.

2.数列的分类

分类标准

类型

含义

按项数

有穷数列

项数有限的数列

无穷数列

项数无限的数列

按项的

变化趋势

递增数列

从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有an＋1an(n∈N*)

递减数列

从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有an＋1an(n∈N*)

常数列

各项都相等的数列，即恒有an＋1＝an(n∈N*)

按其他

标准

周期数列

一般地，对于数列{an}，若存在一个固定的正整数T，使得an＋T＝an恒成立，则称{an}是周期为T的周期数列

按其他

标准

有界(无界)数列

任一项的绝对值都小于某一正数的数列称为有界数列，即?M∈R，|an|≤M，否则称为无界数列

摆动数列

从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列

注：(1)如果组成两个数列的数相同，但顺序不同，它们是不同的数列；(2)同一个数可以在数列中重复出现；(3){an}表示一个数列，an表示数列中的第n项．(4)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断．

(5)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外．

3.数列的表示方法

1．列表法

列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．见下表：

序号n

1

2

3

…

n

…

项an

a1

a2

a3

…

an

…

2．图象法

在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)．

3．通项公式法

如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数的表达式．

注：通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．

4．递推公式法

如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．

注：常见数列的通项

(1)1，2，3，4，…的一个通项公式为an＝n.

(2)2，4，6，8，…的一个通项公式为an＝2n.

(3)3，5，7，9，…的一个通项公式为an＝2n＋1.

(4)2，4，8，16，…的一个通项公式为an＝2n.

(5)－1，1，－1，1，…的一个通项公式为an＝(－1)n.

(6)1，0，1，0，…的一个通项公式为an＝eq\f(1＋（－1）n－1,2).

(7)a，b，a，b，…的一个通项公式为an＝eq\f(（a＋b）＋（－1）n－1（a－b）,2).

(8)9，99，999，…的一个通项公式为an＝10n－1.

4.数列的前n项和Sn与an的关系

1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即

Sn＝a1＋a2＋…＋an.

2．数列的前项和和通项的关系：则

特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．

5.数列的性质

（1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列；

在数列{an}中，若an最大，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1；))若an最小，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))

（2）数列的周期性.

根据给出