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空间向量知识点与题型归纳总结
知识点精讲
、空间向量及其加减运算
1.空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可
用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，ar的起点是A，终点是B，则向量ar也可以记作
若向量
uuurruuur
AB，其模记为a或AB
2.零向量与单位向量
ruuurr规定长度为0的向量叫做零向量，记作0.当有向线段
的起点A与终点B重合时，AB0.
模为1的向量称为单位向量.
3.相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同
一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.
与向量ar长度相等而方向相反的向量，称为
a的相反向量，记为a.
4.空间向量的加法和减法运算
uuuruuuruuurruuuruuuruuurrr
1)OCOAOBaBAOAOBab.如图8-152所示.
2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律
aabbc
，
、空间向量的数乘运算
1．数乘运算
实数与空间向量ar的乘积ar称为向量的数乘运算.当0时，ar与向量ra方向相同；当0
ar的长度是ar的长度的
时，向量a与向量a方向相反.倍.
2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律
a
.
3.共线向量与平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，ar
rrr
平行于b，记作a//b.
4.共线向量定理
rr
对空间中任意两个向量a，b0，a//b的充要条件是存在实数，使ab.
5.直线的方向向量
lAar的直线对空间任意一点O，点P在直
如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量.
uuur线l上的充要条件是存在实数t，uuurrruuurrOAta①，其中向量a叫做直线l的方向向量，在l
使OP上取ABa，
uuuruuuruuuruuuruuuruuur则式①可化为OPOAuuuruuur
tABOAtOBOA1tOAtOB②
1uuur1uuuruuur①和②都称为空间直线的向量表达式，当t，即点P是线段AB的中点时，OP
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