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算术法求解问题的不足

引言

多数人都有这样的体会：用算术方法解算术应用题，有时真不知

道该如何着手分析，而用代数方法不用多大气力就能解决问题。因

此，有人说算术应用题是智者的乐园，也有人说算术应用题几乎是杂

耍，没多大价值。两种说法各执一端，都有一定的道理但又都不尽合

理。从算术方法本身的特点和个体认知结构的角度分析影响算术应用

题难度因子，也许能澄清上述认识，也许能为算术应用题的教学提供

有益的启示。

困难成因分析

1.算术方法的特点

引入字母的多少及字母在方程等号两端的分布是造成算术方法解

算术应用题困难的一个因素。算术方法解算术应用题最多只能引入一

个未知数表示所求量，且这个未知数只能在方程等号的一边。注意到

即使不引入未知数时列的算式也可看作一个方程：在所列算式的后面

写上一个等号再写上x（x表示所求量，就是一个方程。算术方法限制

了引入的这个未知数必须是所求量，且所求量只能在等号的一端。这

事实上把思维集中到等号的另一端，增加了思维负荷。同时等号的一

端用到了未知数，另一端的表达式就不得利用未知数表示所求量，再

一次增加了思考的难度。代数方法解算术应用题，可以引入一个或多

个字母表示未知数，尽可能地把未知因素化为已知因素，把思维负荷

分担到等号的两端，每端的思维负荷都不大。引入多个字母表示未知

数是代数方法的优势，但理解字母何以能表示数、符号化、形式化的

思想是进入代数方法的不二法门，这些地方是有难度的，不过这并不

是说代数方法本身困难。有的学生即便不理解这些，也可机械操练。

这也就是有些人认为代数方法比算术方法容易的原因。所以算术法解

算术应用题稍难一点，对思维能力有一定的要求，相应地也能促进思

维能力的发展。

思维方法的不同是造成算术方法解算术应用题困难的另一个因

素。算术方法是从已知到未知，由原因导出结果。由于一种原因常可

引发多种结果，思维方向不明确，增添了不少困难；代数方法是从未

知到已知，执着结果追索原因，思维方向明确，有利于直达目标。算

术方法使用的是综合法，代数方法使用的是分析法。分析法常用于探

寻思路，综合法常用于书写解题过程，两者的作用不同。若都用于寻

找解题思路，显然综合法遇到的困难更大。所以，算术法解算术应用

题稍难一点。

2.个体认知结构

认知结构的差异理论假设不同个体内部存在着各种不同的认知结

构。有的人偏爱特征性认知结构，有的人偏爱功能性认知结构。特征

性认知结构是基于特征关系的思维，功能性认知结构是基于作用原理

的思维。对特征性认知结构来说，关系、特征是主要的、不可分的构

成结构的零件。特征性思维者讨论行动时，会通过行动前与行动后的

两个状态间的关系来描述行动。而功能性思维者却正好相反，直接对

所用的作用机制感兴趣，当说明某些关系时，会通过形成关系的过程

来说明那些关系。根据上述理论，个体认知结构的差异影响着学生的

思维方式，不同的思维方式在处理算术应用题时会遇到不同的困难。

一方面，用算术方法解应用题要求认知主体能站在联系与关系的

立场上分析事物的结构及表达活动对象间的静态关系。但小学生还没

有建立普遍联系的辩证观点，还不能把孤立事实通过如同数学演算中

的“内插”或“外推”的方式构建和产生连续的认知和行动。另一方

面，用算术方法解应用题也要求认知主体能理解动态过程并对作用进

行思考。但小学生还没有建立运动变化及运动变化的相对性等辩证观

点，因此在寻求运动中的不变因素及引起运动变化的作用因素时存在

困难。由于算术法解算术应用题对方法存在特殊要求，有的问题适宜

于特征性认知结构，有的问题适宜于功能性认知结构。这要求认知主

体不能囿于一种思维模式，应灵活地从一种认知结构转换到另一种认

知结构，对思维的灵活性提出了一定的要求。由上可见，算术法解算

术应用题对辩证思维有一定的要求，对思维的深刻性、灵活性也有一

定的要求。由于小学生的思维能力的局限性，算术方法对小学生而言

是困难的。

3.教学意蕴

可以肯定，算术方法解算术应用题对培养思考力有一定的作用，

但也不应该过分强调。这种方法自身也存在一些不足。一是对学生的

认知心理要求较高，过分强调它的心智训练作用可能违背学生的身心

发展规律，二是这种方法不是一种通法，适用面有限。因此引入代数

符号，用代数方法解算术题是数学科学发展的要求。我国宋代科学家

沈括曾经说过，数学方法应该“见繁即变，见简即用”。代数法解算

术应用题是适用这