2024年“未知数杯”数学模拟测试试题及答案.docx

“未知数杯”数学模拟测试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案

标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，

将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30?7?23．在

不大于10的素数中，选两个不同的数，和为素数的概率为

1

4

1

3

2

3

1

2

A．

B．

C．

D．

??

?

?

??

an1024，则数列a

的前n项积的最大值

n

2．数列a的前n项和为Sn，满足

S

n

n

为

A．255

3．圆心为(1,3)，且与直线

A．2

B．2

B．245

C．2

9

D．210

?

x?y?2?0

相切的圆的半径为

C．8

D．22

??

a?

1

?

?

sina7

?

4．已知数列a为等差数列，且

a7a134π

，则

n

1

2

3

1

2

3

?

A．

B．

C．

D．?

2

2

5．已知二次函数f(x)，对任意的x?R，有f(2x)?2f(x)，则f(x)的图象可能是

A．

C．

B．

D．

数学试题第1页共6页

6．如图是某两位体育爱好者的运动素养测评图，其中每项能力分为三个等级，“一

般”记为4分，“较强”记为5分，“很强”记为6分，把分值称为能力指标，则

下列判断不正确的是

A．甲、乙的五项能力指标的平均值相同

B．甲、乙的五项能力指标的方差相同

C．如果从长跑、马术、游泳考虑，甲的运动素养高于乙

D．如果从足球、长跑、篮球考虑，甲的运动素养高于乙

7．一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2???x（nN），其中（k1，2，

?

?

x

?

，

n

k

n

）称为第k位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错

误（即码元由0变为1，或者由1变为0）.已知某种二元码x1x2x7的码元满足如下校

???

?x?x?x?x?0

4

5

6

7

?

?x?x?x?x?0，其中运算?定义为：0?0?0，0?1?1，1?0?1，1?1?0.

验方程组：

2

3

6

7

?

x?x?x?x?0

?1

3

5

7

已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1100001，那么

用上述校验方程组可判断k等于

A．4

B．5

C．6

D．7

8．运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于

这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.

构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平

面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥

后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得

所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等.现将椭圆

x2

y2

y

?1绕

?

轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图3），类比上述方法，运用

1636

祖暅原理可求得其体积等于

A．64π

B．148

?

C．

128?

D．32?

数学试题第2页共6页

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得

部分分，有选错的得O分。

9．意大利画家列奥纳多·达?芬奇的画作《抱银鼠的女子》中，女士脖颈上黑色珍

珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达?芬奇提出：固定项链的两端，

使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线

?x?

?a?

???

问题”．后人给出了悬链线的函数解析式：fxacosh??，其中为曲线顶点到

a

ex?e?x

横坐标轴的距离，coshx称为双曲余弦函数，其函数表达式为coshx

?

，相应

2

e

x

?e?x

地，双曲正弦函数的表达式为sinhx

?

．若直线

x?m

与双曲余弦函数双曲正

C

1

2

C

C

l

C

2

弦函数的图象分别相交于点A，B，曲线在点A处的切线与曲线在点B处

2

1

1

l

的切线相交于点