保距变换和仿射变换.ppt

第四章保距变换和仿射变换;§1平面的仿射变换与保距变换

一．一一对应与可逆变换

定义1.1设S与S’是两个集合,对S中任一元素a,按某一法

那么在S中有唯一的元素a与之对应,我们称此法那么(即对应关系)

为S到S的一个映射。记作

σ:S→S,

aa.

或者记作:a‘=σ(a),a∈S。a’称为a在映射σ下的象,a称为

a在σ下的一个原象。

集合S到S的两个映射σ和τ称为相等,如果对于任意a∈S,

都有σ(a)=τ(a)。

集合S到自身的一个映射叫做S的一个变换。;例1设S是全体自然数集,S’=｛±n|n∈S｝,那么

σ(n)=2n,n∈S，是S到S’中的一个映射。

τ(n)=4n,n∈S，也是S到S中的一个映射。

例2设S是无数个点的集合,A是S的子集,S’=｛0，1｝。

那么定义为

的法那么σ是S到S上的一个映射。

例3设=,法那么定义为,∈,那么是到自身

的一个变换,此映射称为恒等变换。;例4平面上的平移设S是平面上所有点的集合,取定一个直

角坐标系,给定一个向量=()。令点P(x,y)与P’(x’,y’)的

对应关系为

那么有(1.1)

这是S到自身的一个变换,称为由决定的平移。公式(1.1)

称为平面上的点的平移公式。

注：在形式上平移公式与点的

坐标变换中的移轴公式类似,

但是含意却完全不同:点的平

移公式中,(x,y)和(x’,y’)是不同

的两个点在同一坐标系中的坐标;而移轴公式中,(x,y)和(x,y)是同一个点在两个不同的坐标系中的坐标。;例5平面上的旋转S是平面上所有点的集合,在平面上取定

一个直角坐标系｛O;｝,令点P(x,y)和P’(x’,y’)的对应

关系τ为

(1.2)

其中，θ是一确定的实数,

那么τ是S上的一个变换,称

为平面绕原点的旋转,转角为θ。

(1.2)称为平面上转角为θ的旋转公式。;例6平面上的反射。设l是平面上一条定直线,平面上任一

点P关于l的对称点为P’。这种从P点到P’点的映射,称为平

面上以l为轴???反射。假设取l为x轴建立平面直角坐标系,设

P(x,y),P(x,y),那么此反射表示为

(1.3)

设σ:S→S’,我们用σ(S)表示S中的点在σ下的象的全体,

显然有。

当σ(S)=S时,那么称σ是满射或到上的。如果在映射σ

下,S中不同元素的象也不同,那么称σ是单射(或1—1的)。既是

单射又是满射的映射称为双射(或1—1对应〕。;定义1.2设映射:S→S’,:S’→S″,那么定义乘积映射

为

对于S到S’的双射σ,我们可以定义它的逆映射：

假设σ(a)=a’∈S’,a∈S,那么定义,显然,

易证,1—1对应的逆映射也是1—1对应,1—1对应的乘积也是

1—1对应,映射的乘法满足结合律。

定义1.3设σ:S→S是一变换,假设对a∈S,满足σ(a)=a,那么称

a是σ的不动点,｛a∈S|σ(a)=a｝称为σ的不动点集。;平面上的平移与旋转的乘积称为平面上的运动(即刚体运

动),它是平面到自身上的1—1变换。

例7设σ是平面上由=(a,b)决定的平移,τ是平面上的

转角为θ的绕原点的旋转,

τσ:P(x,y)P″(x″,y″)P(x,y),那么τσ的公式为：，

那么στ的公式为：由