数学建模与数学实验(1).doc

数学建模与数学实验(1)

数学建模与数学实验

实验报告

班级:数学师范153

姓名：付爽

学号：1502012060

实验名称:数列极限与函数极限

数学建模与数学实验(1)全文共1页，当前为第1页。

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基础实验

基础实验一数列极限与函数极限

第一部分实验指导书解读

一、实验目的

从刘徽的割圆术、裴波那奇数列研究数列的收敛性并抽象出极限的定义；理解数列收敛的准则；理解函数极限与数列极限的关系。

实验使用软件

Mathematic5.0

三．实验的基本理论即方法

1割圆术

中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率。刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。

“割之弥细，所失弥少。割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。

数学建模与数学实验(1)全文共2页，当前为第2页。以表示单位圆的圆内接正多边形面积，则其极限为圆周率。用下列Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{}的收敛情况：

数学建模与数学实验(1)全文共2页，当前为第2页。

m=2;n=15;k=10;

For[i=2,i=n,i++,l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k];(圆内接正多边形边长)

s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k];(圆内接正多边形面积)

r[i_]:=Pi-s[i];d[i_]:=s[i]-s[i-1];

Print[i,,r[i],,l[i],,s[i],,d[i]]

]

t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}](数组)

ListPlot[t](散点图)

2裴波那奇数列和黄金分割

由有著名的裴波那奇数列。

如果令，由递推公式可得出

，；

。

用下列Mathematica程序可以从量和形两个角度考察数列{}的收敛情况：

n=14,k=10;

For[i=3,i=n,i++,t1=(Sqrt[5]+1)/2;t2=(1-Sqrt[5])/2;

数学建模与数学实验(1)全文共3页，当前为第3页。f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k];(定义裴波那奇数列通项)

数学建模与数学实验(1)全文共3页，当前为第3页。

rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1];

Print[i,,rn,,Rn,,dn];

]

t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}]

ListPlot[t]

3收敛与发散的数列

数列当时收敛，时发散；数列发散。

4函数极限与数列极限的关系

用Mathematica程序

m=0;r=10^m;x0=0;

f[x_]=x*Sin[1/x]

Plot[f[x],{x,-r,r}]

Limit[f[x],x-x0]

观察的图象可以发现，函数在点处不连续，且函数值不存在，但在点处有极限。

令，作函数的取值表，画散点图看其子列的趋向情况

数学建模与数学实验(1)全文共4页，当前为第4页。k=10;p=25;

数学建模与数学实验(1)全文共4页，当前为第4页。

a[n_]=1/n;

tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]

ListPlot[tf]

Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1]

分别取不同的数列(要求)，重做上述过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。

对于，类似地考察在点处的极限。

三、实验准备

认真阅读实验目的与实验材料后要正确地解读实验，在此基础上制定实验计划（修改、补充或编写程序，提出实验思路，明确实验步骤），为上机实验做好准备。

四、实验思路提示

3.1考察数列敛散性

改变或增大，观察更多的项（量、形），例如，分别取50，1