高中数学讲义导数与函数的极值、最值.pdf

高中数学讲义导数与函数的极值、最值

知识点精准记忆

1、函数的极值

一般地，对于函数yf(x)，



（）若在点xa处有f(a)0，且在点xa附近的左侧有f(x)0，右侧有f(x)0，则称xa

1

为f(x)的极小值点，f(a)叫做函数f(x)的极小值.

（2）若在点xb处有f(b)0，且在点xb附近的左侧有f(x)0，右侧有f(x)0，则称xb

为f(x)的极大值点，f(b)叫做函数f(x)的极大值．

（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.

注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.

2、函数的最大（小）值

一般地，如果在区间[a,b]上函数yfx的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.



设函数fx在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，求fx在[a,b]上的最大值与最小值的步骤为：



（）求fx在(a,b)内的极值；

1

（）将函数fx的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个

2

是最小值.

3、函数的最值与极值的关系

（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[a,b]的整体而言；

（2）在函数的定义区间[a,b]内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或

者没有）；

（3）函数fx的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；



（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.

例题精讲

题型：图像与极值最值

例题1．如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，给出下列命题：

1

——

①x2是函数yf(x)的极值点；②x1是函数yf(x)的极值点；

③yf(x)的图象在x0处切线的斜率小于零；④函数yf(x)在区间(2,2)上单调递增．

则正确命题的序号是()

A．①②B．②④C．②③D．①④

【答案】D

【详解】对于①，根据导函数图像可知，-2是导函数的零点，且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极

值点，故①正确；

对于②，不是极值点，因为的左右两侧导函数符号一致，故②错误；

11

对于③，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，故③错误；

对于④，导函数在2,2恒大等于零，故为函数的增区间，故④正确.

故选：D

fxfxax22axfx

例题2．(多选)已知函数的导函数为，若a0，则函数的图象可能是()

A．B．

C．D．

【答案】BD

fxaxx