2024年数学新高考九省联考新题型-综合能力题及答案.docx

2024年新高考九省联考新题型--综合能力题

1(2024·全国·校联考模拟预测)若项数为k(k∈N*，k≥3)

的有穷数列

{a}

满足：

0≤aaa???

123

n

a，且对任意的i，j(1≤i≤j≤k)，a+a或a-a是数列{a}中的项，则称数列{a}具有性质P．

k

j

i

j

i

n

n

(1)判断数列0,1,2是否具有性质P，并说明理由；

(2)设数列{a}具有性质P，a(i=1，2，?，k)是{a}中的任意一项，证明：a-a一定是{a}中的项；

n

i

n

k

i

n

(3)若数列{a}具有性质P，证明：当k≥5时，数列{a}是等差数列．

n

n

2(2024·全国·校联考一模)关于x的函数f?x?=lnx+2x-b(b2)，我们曾在必修一中学习过“二分

法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法--“牛顿切线法”.

(1)证明：fx有唯一零点a，且a∈1,b；

?

?

?

?

(2)现在，我们任取x1∈(1,a)开始，实施如下步骤：

在?x1,f?x1??处作曲线f?x?的切线，交x轴于点?x2,0?；

在?x2,f?x2??处作曲线f?x?的切线，交x轴于点?x3,0?；

??

在?xn,f?xn??处作曲线f?x?的切线，交x轴于点?xn+1,0?；

可以得到一个数列?xn?，它的各项都是f?x?不同程度的零点近似值.

(i)设xn+1=gx，求gx的解析式(用xn表示xn+1)；

?

?

?

?

n

n

(ii)证明：当x∈1,a，总有xxn+1a.

?

?

1

n

1

3(2024·全国·校联考模拟预测)“让式子丢掉次数”：伯努利不等式

伯努利不等式(BernoullisInequality)，又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不

等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数x∈?-1,+∞?，在n∈?1,+∞?时，有不等式?1+x?n≥

1+nx成立；在n∈0,1时，有不等式?1+x?n≤1+nx成立．

?

?

(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件；

(2)当n≥1时，对伯努利不等式进行证明；

(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知a,a,?,an∈N*是大于-1的实数(全部同号)，证明

?

n

?

1

2

?1+a1??1+a??1+a≥1+a+a+?+a

n

?

?

2

n

1

2

a

a1,2

?

?

?

a1,m

?

?

1,1

?

?

a2,1

a2,2

?

a

?

2,m?

(m≥2)是m2个正整数组成的

4(2024·江苏南通·模拟预测)已知Am=

m

行

?

?

?

?

?

?

?a

am,2

?

am,m?

m,1

m列的数表，当1≤is≤m,1≤jt≤m时，记da,a=a-a+a-a．设n∈N*，若Am满

?

?

?

?

?

?

i,js,t

i,j

s,j

s,j

s,t

足如下两个性质：

①ai,j∈?1,2,3;?,n?(i=1,2,?,m;j=1,2,?,m)；

②对任意k∈?1,2,3,?,n?，存在i∈?1,2,?,m?,j∈?1,2,?,m?，使得a=k，则称A为Γ数表．

i,j

m

n

1

2

3

1

3

?

?

?

?

(1)判断A=2

1是否为Γ数表，并求da,a+da,a的值；

????

31,12,22,23,3

3

?

?

?3

2?

(2)若Γ数表A满足da,a

?

i,ji+1,j+1

=1(i=1,2,3;j=1,2,3)，求A4中各数之和的最小值；

?

2

4

(3)证明：对任意Γ数表A，存在1≤is≤10,1≤jt≤10，使得da,a=0．

??

i,js,t

4

10

2

5(2024·全国·校联考模拟预测)设正整数数列A:a，a，?，a(N3)满足aa，其中1≤ij≤N.

1

2

N

i

j

如果存在k∈{2，3，?，N}，使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，则称