部编数学九年级上册【单元复习】第二十一章一元二次方程（知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练）（解析版）含答案.pdfVIP

【高效培优】2022—2023学年九年级数学上册必考重难点突破必刷卷（人教版）

【单元复习】第二十一章一元二次方程

（知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练）

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知识精讲

第二十一章一元二次方程

21.1一元二次方程

知识点一一元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一

元二次方程。

注意一下几点：

（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程。

知识点二一元二次方程的一般形式

一般形式：ax+bx+c=0(a≠0).其中，ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项

系数；c是常数项。

知识点三一元二次方程的根

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程

的解的定义是解方程过程中验根的依据。

21.2降次——解一元二次方程

21.2.1配方法

知识点一直接开平方法解一元二次方程

（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一

般地，对于形如x=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x=,x=.

（2）直接开平方法适用于解形如x=p或(mx+a)=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接

开平方法。

（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，

它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方

项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原

方程的根。

知识点二配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次

方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）方程两边都除以二次项系数；

（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；

（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。

21.2.2公式法

知识点一公式法解一元二次方程

（1）一般地，对于一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，如果b-4ac≥0，那么方程的两个根为x=

，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二

方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0(a

≠0)的过程。

（3）公式法解一元二次方程的具体步骤：

（1）方程化为一般形式：ax+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值；

（2）确定公式中a,b,c的值，注意符号；

（3）求出b-4ac的值；

（4）若b-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b-4ac＜0，则方程无实数根。

知识点二一元二次方程根的判别式

式子b-4ac叫做方程ax+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b-4ac.

一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，△＞0，方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；

一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，△=0，方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；

一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，△＜0，方程ax+bx+c=0(a≠0)无实数根；

21.2．3因式分解法

知识点一因式分解法解一元二次方程

（1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一

元一次方程的解