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第三章集合与关系

3－1集合的概念和表示法离散数学1《离散数学》讲义全文共181页，当前为第1页。

集合论起源：起源16世纪末，数学危机（理发师：只给那些不给自己理发的人理发，不给那些给自己理发的人理发）（理发师？属于那一类？）定义集合的方法在逻辑上来说，有矛盾1876-1908，cantor奠定了集合论基础(朴素集合论)20世纪初，zermole建立的公理化集合论，解决了悖论（公理化集合论）离散数学2《离散数学》讲义全文共181页，当前为第2页。

离散数学31、集合概念及表示（1）集合①概念 一般地说，把具有相同性质的一些东西，汇集成一个整体，就形成一个集合。例如：教室内的桌子；全国的高等学校；自然数的全体；直线上的点。②分类 有限集：集合的元素个数是限的。 无限集：集合的元素个数是无限的。《离散数学》讲义全文共181页，当前为第3页。

离散数学4（2）表示①集合：A～Z；元素（集合中的事物）：a～z。②I元素a属于集合A， 记作：a??AII元素a不属于集合A， 记作：a??A《离散数学》讲义全文共181页，当前为第4页。

离散数学5③说明集合的方法 I列举法：将某集合的元素列举出来。例如：A={a,b,c,d},D={桌子，灯泡，自然数，老虎}，C={2,4,6,…,2n}注意：集合的元素可以是一个集合。 例如：S={a,{1,2},p,{q}}，q?{q}，但q?S。 II叙述法：利用一些规则，来决定某一事物是否属于该集合。例如： S1={x|x是正奇数} S2={x|x是中国的省} S3={y|y=a或y=b}。 另外，用P(x)表示任何谓词，则{x|P(x)}可表示集合。《离散数学》讲义全文共181页，当前为第5页。

离散数学62、集合相等外延性原理：两个集合是相等的，当且仅当它们有相同的成员。两个集合A和B相等，记作：A=B，两个集合不相等，则记作A?B。《离散数学》讲义全文共181页，当前为第6页。

离散数学7例如：设A是小于10的素数集合，即A={2,3,5,7}，设代数方程x4－17x3＋101x2－247x＋210＝0的所有根可组成集合B，则B={2,3,5,7}。 又如：{1,2,4}={1,2,2,4} {1,2,4}={1,4,2} {1,3,5,…}={x|x是正奇数} 但： {{1,2},4}?{1,2,4}注意：集合没有次序之分，集合中的元素可以重复。《离散数学》讲义全文共181页，当前为第7页。

离散数学83、子集（1）概念定义3-1.1设A、B是任意两个集合，假设A是每一个元素是B的成员，则称A为B的子集，或A包含在B内，或B包含A。 记作：A?B，或B?A。 A?B?(?x)(x?A?x?B)例如：A={1,2,3}，B={1,2}，C={1,3}，D={3}; 则有：B?A，C?A，D?A，D?C。 根据子集的定义，有： A?A 自反性 (A?B)?(B?C)?(A?C) 传递性《离散数学》讲义全文共181页，当前为第8页。

离散数学9（2）应用定理3-1.1集合A和B相等的充分必要条件是这两个集合互为子集。《离散数学》讲义全文共181页，当前为第9页。

离散数学104、真子集定义3-1.3如果集合A的每一个元素都属于B，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A为B的真子集。 记作：A?B。即：A?B?(A?B)?(A?B) A?B?(?x)(x?A?x?B)?(?x)(x?B?x?A)《离散数学》讲义全文共181页，当前为第10页。

离散数学115、空集（1）概念定义3-1.3不包含任何元素的集合是空集。 记作：?。 ?＝{x|P(x)??P(x)}，其中P(x)是任意谓词。注意：??{?}，但??{?}。《离散数学》讲义全文共181页，当前为第11页。

离散数学12（2）性质定理3-1.2对于任意一个集合A，??A。注意：I对于每一个非空集合A，至少有两个不同的子集：A和?，即：A?A和??A。我们称A和?为平凡子集。II一般来说，A的每一个元素都能确定A的一个子集，即若a?A，则{a}?A。《离散数学》讲义全文共181页，当前为第12页。

离散数学136、全集定义3-1.4在一定范围内，如果所有集合均为某一集合的子集，则称该集合为全集。 记作：E。 (?x)(x?E)恒真。 E＝{x|P(x)??P(x)}，P(x)任何谓词。注意：全集概念相当于论域 设全集E={a,b,c}，可能的子集有：S0=?,S1={a}