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数学教学论;12数学概念及其教学;数学概念概述;概念的内涵和外延

概念的内涵亦称内包，指概念所反映的对象的特有属性、本质属性。

概念的外延亦称外包，指概念所反映的对象的总和。

例：“△ABC的顶点”

内涵是指点的性质和其中任一点同在这个三角形两边之上这个性质；

外延是指A、B、C三点的集合。

注：（1）数学概念的内涵和外延是在一定的数学科学体系中来认识的。例如，角的概念在平面几何中和在平面三角中的内涵和外延均不同。

（2）概念的内涵和外延是发展的;概念间的关系（概念外延间的同异关系）

1、相容关系

（1）同一关系（全同关系或重合关系）

外延完全重合，内涵可以不同。

例如：数0是扩大的自然数集中最小的数，又是正数

与负数的分界数，在数的运算中它又是两个相等数

的差等；

等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角的平分线

的外延都是同一条线段，而内涵也各不相同。

注：研究概念间的同一关系，可以对概念所反映的对

象得到较深刻、较全面的认识。另外，在推理证明中

具有全同关系的概念可以互相代换，使得论证简明。;（2）从属关系

如果甲概念的外延真包含乙概念的外延，如下图所示，那么，这两个概念具有从属关系。其中，外延较大的那个概念叫做属概念，外延较小的那个概念叫做种概念。这两个概念的外延和的关系可以写成;（3）交叉关系

如果两个概念的外延有且只有部分重合，那么这两个概念具有交叉关系或者叫做部分重合关系，如下图。用集合符号表示概念的交叉关系，可设两个概念的外延分别是集合和集合，如果是非空集合而且不是，那么这两个概念具有交叉关系。;（4）不相容关系（全异关系）

如果两个概念的外延间没有任何一部分重合的关系，那么这两个概念具有全异关系，这种关系又叫做“拳异关系”或“排斥关系”。

全异关系又分为反对关系和矛盾关系。;（3）揭示外延的定义方式

整数和分数统称为有理数。

（4）约定式定义

我们规定“”。;数学概念学习;（2）分化出各种刺激模式的???性。

（3）抽象出各个刺激模式的共同属性。

（4）在特定的情境中检验假设，确认关键属性。

（5）概括，形成概念。

（6）把新概念的共同关键属性推广到同类事物中去。

（7）用习惯的形式符号表示新概念。;“函数”概念的形成过程：

1、观察实例，写出变量间的关系表达式：

（1）以每小时80千米的速度匀速行使的汽车，所驶过的路程和时间

（2）由某一天气温变化的曲线所揭示的气温和时刻

（3）用表格给出的某水库的贮水量与水深。

2、找出上例中两变量之间关系的共同本质

3、辨别正反例，找出本质属性（一一对应）

4、概括出函数定义

5、练习巩固成形;教学过程中需注意：

（1）提供的刺激模式应该是正例，而且数量要恰当；

（2）注意选择那些刺激强度适当、变化性大和新颖有趣的例子；

（3）让学生进行充分自主的活动，使他们经历概念产生的过程，了解概念产生的条件，把握概念形成的规律；

（4）在确认了事物的关键属性，概括成概念以后，教师应采取适当措施，使学生认知结构中的新旧概念分化，以免造成新旧概念的混淆，新概念被旧概念所湮没；;（5）必须使新概念纳入到已有的概念系统中去，使新概念与认知结构中已有的起固着点作用的相关概念建立起实质的和非人为的联系；

（6）教师的语言中介作用很大，因为教师的语言引导可以使学生更加有的放矢地对概念的具体事例进行分析、归纳和概括；

（7）教师一定要扎扎实实地引导学生完成概念形成的每一个步骤。;2.概念的同化

概念同化的学习形式是利用学生认知结构中的原有概念，以定义的方式直接向学生揭示概念的本质属性。

由奥苏伯尔的有意义接受学习理论可知，要使学生有意义地同化新概念，必须：

第一，新概念具有逻辑意义；第二，学生的认知结构中具备同化新概念的适当知识；第三，学生积极主动地使这种具有潜在意义的新概念与他认知结构中的有关观念发生相互作用，改造旧知识，使新概念与已有认知结构中的相关知识进一步分化和融会贯通。;概念同化的阶段

（1）揭示概念的关键属性，给出定义、名称和符号；

（2）对概念进行特殊的分类，讨论这个概念所包含的各种特例，突出概念的本质特征；

（3）使新概念与已有认知结构中的有关观念建立联系，把新观念纳入到已有概念体系中，同化新概念；

（4）用肯定例证和否定例证让学生辨认，使新概念与已有认知结构中的相关概念分化；

（5）把新概念纳入到相应的概念体系中，使有关概念融会贯通，组成一个整体。;如“一次函数”的概念

给出名称、定义、符号：函