空间直线和平面总结-知识结构图+例题.doc

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【同步教育信息】

一.本周教学内容:

期中复习

[知识串讲]

空间直线和平面:

〔一〕知识结构

〔二〕平行与垂直关系的论证

1、线线、线面、面面平行关系的转化:

2.线线、线面、面面垂直关系的转化:

3.平行与垂直关系的转化:

4.应用以上“转化”的根本思路——“由求证想判定,由想性质。”

5.唯一性结论:

〔三〕空间中的角与距离

1.三类角的定义:

〔1〕异面直线所成的角θ:0°<θ≤90°

〔2〕直线与平面所成的角:0°≤θ≤90°

〔3〕二面角:二面角的平面角θ,0°≤θ≤180°

2.三类角的求法:转化为平面角“一找、二作、三算”

即:〔1〕找出或作出有关的角;

〔2〕证明其符合定义;

〔3〕指出所求作的角;

〔4〕计算大小。

3.空间距离:将空间距离转化为两点间距离——构造三角形,解三角形,求该线段的长。

4.点到面的距离,线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。

常用方法:三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。

简单几何体:

〔一〕棱柱〔两底面平行,侧棱平行的多面体〕

〔二〕棱锥〔底面是多边形,其余各面是由有一个公共顶点的三角形所围成的多面体〕

定理:截面与底面平行

那么有

正棱锥的性质

概率与统计

〔一〕散型随机变量的分布列

性质:

二项分布:

假设

那么

期望:

方差:

〔二〕抽样方法

【典型例题】

例1.如图,在四面体ABCD中作截面EFG,假设EG,DC的延长线交于M,FG、BC的延长线交于N,EF、DB的延长线交于P,求证M、N、P三点共线。

证明:由,显然M、N、P在平面EFG上

又M、N、P分别在直线DC、BC、DB上

故也在平面BCD上

即M、N、P是平面BCD与平面EFG的公共点

∴它们必在这两个平面的交线上

根据公理2.M、N、P三点共线

例2.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1和BB1的中点,那么AM与CM所成角的余弦值为〔〕

分析:如图,取AB中点E,CC1中点F

连结B1E、B1F、EF

那么B1E//AM,B1F//NC

∴∠EB1F为AM与CN所成的角

又棱长为1

∴选D

例3.

其中正确的两个命题是〔〕

A.①与② B.③与④ C.②与④ D.①与③

分析:

∴②错

∴④错

∴①③正确,选D

例4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F。〔1〕证明PA//面EDB。〔2〕PB⊥平面EFD。

证:〔1〕连AC,AC交BD于O,连EO

∵底面ABCD是正方形

∴点O是AC中点

又E为PC中点

∴EO//PA

∴PA//面EDB

〔2〕∵PD⊥底面ABCD

∴BC⊥PD

∴BC⊥面PDC ∴BC⊥DE

又E为等直角三角形中点

∴DE⊥面PBC ∴DE⊥PB

∴PB⊥面DEF

例5.正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1⊥BC1,求证:A1C⊥BC1。

证明:设E、E1分别是BC、B1C1的中点,连AE,A1E1,B1E,E1C

注:三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。

例6.以下正方体中,l是一条体对角线,M、N、P分别为其所在棱的中点,如何证明l⊥面MNP。

分析:

③如图,取棱A1A、DC、B1C1的中点,分别记为E、F、G,显然EMFNGP为平面图形,而D1B与该平面垂直

∴l⊥面MNP

例7.

∠ACB=90°,侧棱与底面成60°的角。

分析:

证明:

又∠ACB=90°,即AC⊥BC

∴D为AC中点

例8.Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,D、E分别是AB、AC的中点,沿DE将△ABC折成直二面角,使A到A’的位置〔如图〕。求:

〔1〕C到A’D的距离;

〔2〕D到平面A’BC的距离;

〔3〕A’D与平面A’BC所成角的正弦值。

解:〔1〕∵二面角A’-DE-B是直二面角

又A’E⊥ED,CE⊥ED

∴ED⊥面A’EC及EC⊥面A’ED

作EF⊥A’D于F,连结CF,那么CF⊥A’D

∴CF即为C点到直线A’D的距离

在Rt△A’ED中,EF·A’D=A’E·ED

∴DE//面A’BC

∴E到面A’BC的距离即为D点到平面A’BC的距离

过E作EM⊥A’C于M

∵ED⊥面A’EC

又BC//ED

∴BC⊥面A’EC

∴BC⊥EM

∴EM⊥面A’BC

或者用体积法:

例9.

〔1〕证明:

〔2〕解:

又取BC中点N,连结NF

例10.将一颗骰子连续抛掷两次称为一次试验,如果一次试验中两次抛掷的骰子所出现的点数之和大于9时,那么称为这次试验成功。

〔1〕求一次试验成功的概率;〔2〕在试验成功的所有情况中,以表示两次抛掷的骰

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