等腰三角形综合应用.doc

等腰三角形综合应用

1.等腰三角形的性质的应用

在应用等腰三角形的性质时，要结合分类讨论、方程的思想和添加辅助线解决问题.据理力争说明如下。

1．等腰三角形的一个角或角度关系来进行计算

例1：如图1，房屋顶角∠BAC=100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋檐AB=AC.求顶架上的∠B，∠C，∠BAD，∠CAD的度数.

剖析：此题解答时应注意：(1)等腰三角形中顶角与底角的关系：①顶角+2×底角=180°.

②顶角=180°-2×底角；图1

(2)等腰三角形中，顶角，底角的取值范围：

假设顶角为α，底角为β，那么由以上②，③可得0°＜α＜180°，0°＜β＜90°.

评注：遇到等腰三角形中的一个角的度数时，需注意分类讨论，判断它能做顶角还是底角.

2.分解图形列方程计算

例2：如图5，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.

(1)图中有几个等腰三角形？(2)求△ABC各内角的度数.

剖析：(1)在中没有给出角度，需利用三角形内角和为180°的条件来算出具体度数，但由于未知数过多，需根据各边的关系寻找出△ABC的各角关系，由图中的三个等腰三角形的底角及外角性质，可设∠A=x°，列方程解决.因此分解出等腰三角形是利用性质解决问题的关键.

(2)注意此题图形特殊，只有顶角为36°的等腰三角形才能满足。

例3如图3，在△ACB中，∠ACB=90°，E和D两点在AB上，AD=AC，BE=BC.

求∠ECD的度数.图3

评注：通过此题的解题过程看到了分解根本图形的作用.寻找角度之间的简捷有效的数量关系和整体代换的思想起到了简化计算的作用.

3．作辅助线，利用等腰三角形的性质证明

例4：如图9，点D，E在△ABC中的边BC上，AB=AC，AD=AE.求证：BD=CE.

剖析：(1)证明思路可利用“等边对等角”来证明△ABD≌△ACE，也可用“三线合一”作辅助线解决.

(2)作辅助线时，可让比拟几种辅助线作法的优劣，最好作底边上的高线.

(3)纠正作辅助线的几种错误：如“作AF平分BC和DE交BC于F”，“作AF平分∠BAC和∠DAE”等.

证明过程请同学们自行完成。

评注：应用性质证明时要注意添加辅助线来简化证明过程，并考虑能否不用证明三角形全等来解决问题.

2等腰三角形常见漏解剖析

等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，它的边、角的特殊性在处理许多几何问题中起着很重要的作用，正是因为等腰三角形的特殊性，所以在具体处理问题时往往会出现这样那样的漏解问题，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意对等腰三角形的分类讨论，不能大意.现就同学们的常见漏解剖析如下：

求角度时出现的漏解

例1〔荆门市中考试题〕等腰三角形的一个角为75°，那么其顶角为〔〕

A，30°B，75°C，105°D，30°或75°

二、求周长时出现的漏解

例2〔芜湖市中考试题〕等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,那么它的周长等于_______.

三、遇中线时出现的漏解

例3假设等腰三角形一腰上的中线分周长为9ｃｍ和12ｃｍ两局部，求这个等腰三角形的底和腰的长.

遇到高时出现的漏解

例4等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数

五、遇垂直平分线时出现的漏解

例5〔中考〕在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，那么底角∠B＝＿＿＿.

3.等腰三角形在生活中的应用

等腰三角形是特殊的三角形，其特殊性质在解决生活实际问题中，有着广泛的应用．下面举几个例子与大家共赏．

一艘轮船由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，

两小时后，轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛周

围18海里内有暗礁，假设轮船仍按15海里/时的速度向前航行，有

无触礁的危险？

规律总结：解此类问题，应首先正确画出图形，然后将实际问题转化成数学问题．

某中学师生在工厂学习劳动中，看到工人师傅在材料的边角处画直角时，

采用“三弧法”．〔1〕画线段AB，分别以A、B为圆心，AB长为半径画

弧相交于点C；〔2〕以C为圆心，仍以AB长为半径画弧，交AC的延

长线于D；〔3〕连结DB，那么∠ABD为直角．这是为什么呢？

规律总结：在有关三角形问题中求角的度数，有时还可借助于“等边三角形的每个角都是60°”来解决．

例3东风汽车公司冲压汽车零件后剩余的废料都是等腰三角形的小钢板，