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多元函数的极限练习题

一、基本概念题

1.设函数$f(x,y)$在点$(a,b)$的某邻域内有定义，若$\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L$，则称$L$为函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的什么？

2.若函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处可微，则该函数在点$(a,b)$处的极限是否存在？为什么？

3.举例说明一个二元函数在某点沿不同路径趋向该点时，极限值可能不同。

二、计算极限题

1.计算极限$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2+y^2}{x+y}$。

2.计算极限$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{x^2+y^2}$。

3.计算极限$\lim\limits_{(x,y)\to(1,2)}\frac{x^2y^2}{xy}$。

4.计算极限$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{e^{x^2+y^2}1}{x^2+y^2}$。

5.计算极限$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3y^3}{x^2+y^2}$。

三、判断题

1.若$\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=L$，则$\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)}[f(x,y)+g(x,y)]=L+\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)}g(x,y)$。（）

2.若$\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)$和$\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)}g(x,y)$均存在，则$\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)}[f(x,y)\cdotg(x,y)]=\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)\cdot\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)}g(x,y)$。（）

3.若$\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)$不存在，则$\lim\limits_{(x,y)\to(a,b)}[f(x,y)]^2$也不存在。（）

四、综合题

1.设函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处连续，且$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(2x,3y)=1$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$。

2.已知函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处可微，且$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)f(0,0)x^2y^2}{x^2+y^2}=0$，求$f_x(0,0)$和$f_y(0,0)$。

3.设函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处的偏导数$f_x(0,0)$和$f_y(0,0)$均存在，且$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=1$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$。

五、路径极限题

1.讨论极限$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3y^3}{x^2+y^2}$沿不同路径取值的情况。

2.计算极限$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}$沿着直线$y=mx$的路径。

3.设函数$f(x,y)$在点$(0,0)$处的定义为$f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}$，讨论$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$沿不同路径是否存在。

六、极限存在性判断题

1.判断极限$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2}$是否存在。

2.判断极限$\lim\lim