2024年新高考“九省联考”19题压轴题数学试题及答案.docxVIP

新高考“九省联考”19题压轴题汇编

一、集合新定义

1(2023下·北京·高一校考开学考试)给定整数n≥3，由n元实数集合S定义其相伴数集T=

a-b∣a?b∈S,a≠b，如果minT=1，则称集合S为一个n元规范数集，并定义S的范数f为其中

??

?

?

?

?

所有元素绝对值之和.

(1)判断A=-0.1,-1.1,2,2.5、B=-1.5,-0.5,0.5,1.5哪个是规范数集，并说明理由；

?

?

?

?

(2)任取一个n元规范数集S，记m、M分别为其中最小数与最大数，求证：minS+maxS≥n-

?

?

??

?

?

??

1；

(3)当S=a,a,?,a

2023

遍历所有2023元规范数集时，求范数f的最小值.

?

?

1

2

注：min?X?、max?X?分别表示数集X中的最小数与最大数.

2(2024·全国·校联考模拟预测)已知有穷数列A:a，a，?，a(n≥3)中的每一项都是不大于n的

1

2

n

正整数.对于满足1≤m≤n的整数m，令集合A?m?=k?a=m，k=1，2，?，n?.记集合

?

A(m)

中元

????

k

素的个数为s(m)(约定空集的元素个数为0).

(1)若A:6，3，2，5，3，7，5，5，求A(5)及s(5)；

1

1

1

(2)若

+

+?+

=n，求证：a,a,?,a互不相同；

12n

s(a1)

s(a2)

s(an)

(3)已知a=a,a=b，若对任意的正整数i，j(i≠j，i+j≤n)都有i+j∈A(a)或i+j∈A(a)，求a+a

1

2

i

j

1

2

+?+an的值.

1

3(2023上·北京海淀·高三北大附中校考阶段练习)已知T为所有n元有序数组?a,a,???,a?所组

n

1

2

n

成的集合.其中ai∈?0,1?(i=1,2,???,n).

对于T中的任意元素x=?x,x,???,x?，y=?y,y,???,y?定义x，y的距离：

1

2

n

1

2

n

dx,y=x-y+x-y+???+x-y.

?

?

?

?

?

?

?

?

n

1

1

2

2

n

若k∈N，为的子集，且有2k个元素，并且满足任意

*U

T

x∈T

5k，都存在唯一的

y∈U

??

，使得，

dx,y≤2

5k

则称U为“好k集”.

(1)若a，b，c∈T，a=1,0,1，b=0,1,0，c=0,1,1，求da,a，da,b及da,c+db,c的值；

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

3

(2)当k=1时，求证：存在“好k集”，且“好k集”中不同元素的距离为5；

(3)求证：当k1时，“好k集”不存在.

4(2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测)已知Q:a,a,?,a为有穷正整数数列，且a≤a≤?

1

2

k

1

2

≤a，集合X=-1,0,1．若存在x∈X,i=1,2,?,k，使得xa+xa+?+xa=t，则称t为k-可表

?

?

k

i

1

1

2

2

kk

数，称集合T=?t∣t=xa+xa+?+xa,x∈X,i=1,2,?,k?为k-可表集．

1

1

2

2

k

k

i

(1)若k=10,ai=2i-1,i=1,2,?,k，判定31，1024是否为k-可表数，并说明理由；

3k-1

(2)若1,2,?,n?T，证明：n≤

；

?

?

2

(3)设a=3i-1,i=1,2,?,k，若1,2,?,2024?T，求k的最小值．

?

?

i

2

5(2023上·北京·高一清华附中校考期中)对非空整数集合M及k∈N，定义M⊕k=

m+t|m∈M,t=-k,-k+1,?,k，对于非空整数集合A，B，定义dA,B=

?

?

?

?

mink∈N|A?B⊕k,B?A⊕k.

?

?

(1)设M=2,4,6，请直接写出集合M⊕1；

?

?

(2)设A=1,2,3,4,?,100，dA,B=1，求出非空整数集合B的元素个数的最小值；

?

?

?

?

(3)对三个非空整数集合A，B，C，若dA,B=4且dB,C=1，求