2025年高考数学复习大题题型归纳：专题16 圆锥曲线中的探索性和综合性问题（解析）.pdf

专题16圆锥曲线中的探索性和综合性问题

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1．在直角坐标平面中，△两个顶点的坐标分别为−0,0(0)，两动点足

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++=0,||=7||=7||

，向量与共线.

△

(1)求的顶点的轨迹方程；

(2)若过点0,的直线与（1）的轨迹相交于点，求⋅的取值范围.

−0,20,∠=

(3)若为点的轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数0)，使得

恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

2

22

【答案】(1)−=

3

22

(2)−∞,4∪20,+∞

(3)存在=2；理由见解析

++=0,=

【分析】（1）设，由知，由且向量与共线，知在边

33

△

的中垂线上，由此能求出的顶点的轨迹方程；

22

（2）设､,，过点0,的直线方程为=+代入双曲线方程，得3−−2−

1122

2

4=0，再由根的判别式和韦达定理即可求出⋅的取值范围；

（3）通过由特殊到一般的方法进行求解.

【详解】（1）设，由++=0知，

∴△∴,

是的重心，.

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∵=∴