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DesignandAnalysisofAlgorithms
MediansandOrderStatistics(Ch9)
SimpleReviewCountingsortHowifthereare17elementsnotgreaterthanxinA?Putthelastoneinposition17,thepenultimateoneinposition16,…Ifk=O(n),thencountingsorttakesΘ(n)time.RadixsortSortonleast-significantdigitfirstwithauxiliarystablesort.Θ(dT(n)),ifweusecountingsortanddisconstant,Θ(n)BucketsortDividetheinterval[0,1)intonequal-sizedsubintervals,orbucket,andthendistributetheninputnumberintothebuckets.Θ(n)underuniformdistribution
DesignandAnalysisofAlgorithmsMediansandOrderStatisticsTopics:OrderStatisticsExpectedlineartimeselectionWorst-caselineartimeselection
TodayMedianandorderstatisticsTwoO(n)timealgorithms:Randomized:similartoQuicksortDeterministic:quitetrickyBothareexamplesofdivideandconquer
OrderStatisticsOrderStatistics:Theithorderstatisticofasetofnelementsistheithsmallestelement.MediansThe“halfwaypoint”oftheset.Weuse“themedian”torefertothelowermedian.Selecttheithsmallestofnelements(theelementwithranki).Minimum:i=1Maximum:i=nMedian:Howfastcanwesolvetheproblem?O(n)forminormax.O(nlgn)bysortingforgenerali.O(nlgi)withheaps.NextwewillseehowtodoitinO(n)time.
RandomizedalgorithmforfindingtheithelementDivideandconquerapproachMainidea:PARTITIONIfik,recurseontheleftIfik.recurseontherightOtherwise,outputx
RANDOMIZDSELECTRANDOMIZDSELECTRANDOMIZED-SELECT(A,p,r,i)1ifp=r2thenreturnA[p]3q←RANDOMIZED-PARTITION(A,p,r)//asusedinquicksort4k←q–p+1//k=rank(A[q])5ifi=k//thepivotvalueistheanswer6thenreturnA[q]7ifik8thenreturnRANDOMIZED-SELECT(A,p,q–1,i)9elsereturnRANDOMIZED-SELECT(A,q+1,r,i–k)
RANDOMIZDSELECTExampleSelectthei=7thsmallest:Partition:Selectthe7-4=3rdsmallestrec
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