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阶段专项提分练六实数的有关运算
类型一含有算术平方根和立方根的运算
【典例1】已知:一个正数a的两个不同平方根分别是x+5和4x-15.
(1)求x的值;
【解析】(1)∵一个正数a的两个平方根分别是x+5和4x-15,
∴(x+5)+(4x-15)=0,
∴5x-10=0,解得x=2;
(2)求17a+1的立方根
【解析】(2)由(1)得x=2,
∴a=(2+5)2=49.
17a+1=1
∴17a+1的立方根是38
思路点拨(1)根据正数a的两个平方根互为相反数列式求出x的值即可;
(2)把(1)中求出的a的值代入17a+1,然后再求立方根即可
【变式1】下列表达错误的是(A)
A.2的立方根等于±3
B.2的算术平方根等于2
C.2的平方根等于±2
D.-2的立方根等于3
【变式2】下列等式正确的是(C)
A.-9=-3 B.49144
C.3(-8)2=4 D.
【变式3】(1)3-27-0-14+3
A.-114 B.±114 C.154
(2)计算(-11)2
A.-11 B.11 C.22 D.-22
【变式4】求下列各式中的x:
(1)25(x-1)2=49;
【解析】(1)∵25(x-1)2=49,∴(x-1)2=4925
∴x-1=±75,∴x=1±75,∴x=125
(2)64(x-2)3-1=0.
【解析】(2)∵64(x-2)3-1=0,∴(x-2)3=164
∴x-2=14,∴x=9
类型二运用法则进行实数运算
【典例2】(1)计算:|3-π|--12-2=π
(2)计算:42022×-142023×(3-1)0
思路点拨根据实数运算法则进行计算即可.
【变式1】若(3+2)2=a+b2(a,b为有理数),则a+b=(D)
A.3 B.4 C.14 D.17
【变式2】计算:
(1)(3-23)2
【解析】(1)原式=3-4+43=1
(2)5(5-15)-0
【解析】(2)原式=5-1-0.5=3.5;
(3)1-(3+2)(3-2).
【解析】(3)原式=1-3+2=0.
【变式3】已知5的整数部分是x,小数部分是y,求y2+4y的值.
【解析】∵253,
∴5的整数部分是2,小数部分是5-2,
则y2+4y=y(y+4)=(5-2)(5-2+4)=(5-2)(5+2)=5-4=1.
类型三含绝对值的实数运算
【典例3】计算|1-2|+|2-3|+|3-2|的值为(A)
A.1 B.-1 C.1-23 D.22-1
思路点拨先判断实数的大小去绝对值符号,再运算.
【变式1】实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示,那么|b-a|+|a+b|-|b|化简的结果为(A)
A.2a+b B.b
C.2a-b D.3b
【变式2】求下列各式中x的实数值.
(1)|x|-7=0;
【解析】(1)由题意得x=7或-7;
(2)|x+2|=π.
【解析】(2)x+2=π或-π,
∴x=π-2或x=-π-2.
【变式3】计算:27-(-2023)0+13-1-|
【解析】原式=33-1+3-(2-3)=33-1+3-2+3=43.
【变式4】如图,数轴的正半轴上有A,B,C三点,点A,B分别表示数1和2.点B到点A的距离与点C到点O的距离相等,设点C所表示的数为x.
(1)请你求出数x的值.
【解析】(1)∵点A,B表示的数分别是1和2,
∴AB=2-1,
∴OC=AB=2-1,
∴点C表示的数x=2-1;
(2)若m为x-2的相反数,n为x-2的绝对值,求m+n.
【解析】(2)由(1)知x=2-1,
∴x-2=2-1-2=2-3,
∴m=3-2,n=|2-3|=3-2,
∴m+n=6-22.
拓展:实数运算中的新定义问题
1.对任意两个实数a,b定义两种运算:ab=a(若a≥b)b(若ab),a?b=b(若a≥b)a(若
A.35 B.3 C.5 D.6
2.对于两个不相等的实数a,b,定义一种新的运算:a*b=a+ba-b,例如:3*2=3+23-2=5,那么15
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