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数学建模与创业计划实践部
学习目标
1.能表述建立数学模型的方法、步骤;
2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、
非预制性、条理性、技艺性和局限性等特点;;
3.能表述数学建模的分类;
4.会采用灵活的表述方法建立数学模型;
5.培养建模的想象力和洞察力。
一、建立数学模型的方法和步骤
—般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法,
一类是测试分析方法.机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系,
找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将
研究对象视为一个“黑箱”系统,内部机理无法直接寻求,可以测量系统的输人
输出数据、并以此为基础运用统计分析方法,按照事先确定的准则在某一类模型
中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System
Identification).将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析
建立模型的结构,用系统辨识确定模型的参数.
可以看出,用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度
和建模目的决定的.如果掌握了机理方面的一定知识,模型也要求具有反映内部
特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主.当然,若需要模型参数的具体
数值,还可以用系统辨识或其他统计方法得到.如果对象的内部机理基本上没掌
握,模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报,则可以系统辩识方法
为主.系统辨识是一门专门学科,需要一定的控制理论和随机过程方面的知识.以
下所谓建模方法只指机理分析。
建模要经过哪些步骤并没有一定的模式,通常与实际问题的性质、建模的
目的等有关
模型准备首先要了解问题的实际背景,明确建模的目的搜集建模必需的各
种信息如现象、数据等,尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型,总
之是做好建模的准备工作.情况明才能方法对,这一步一定不能忽视,碰到问题
要虚心向从事实际工作的同学请教,尽量掌握第一手资料.
模型假设根据对象的特征和建模的目的,对问题进行必要的、合理的简化,
用精确的语言做出假设,可以说是建模的关键一步.一般地说,一个实际问题不
经过简化假设就很难翻译成数学问题,即使可能,也很难求解.不同的简化假设
会得到不同的模型.假设作得不合理或过份简单,会导致模型失败或部分失败,
于是应该修改和补充假设;假设作得过分详细,试图把复杂对象的各方面因素都
考虑进去,可能使你很难甚至无法继续下一步的工作.通常,作假设的依据,一
是出于对问题内在规律的认识,二是来自对数据或现象的分析,也可以是二者的
综合.作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识,
又要充分发挥想象力、洞察力和判断力,善于辨别问题的主次,果断地抓住主要
因素,舍弃次要因素,尽量将问题线性化、均匀化.经验在这里也常起重要作用.写
出假设时,语言要精确,就象做习题时写出已知条件那样.
模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系,利用对象的内在规律和适
当的数学工具,构造各个量(常量和变量)之间的等式(或不等式)关系或其他数学
结构.这里除需要一些相关学科的专门知识外,还常常需要较广阔的应用数学方
面的知识,以开拓思路.当然不能要求对数学学科门门精通,而是要知道这些学科
能解决哪一类问题以及大体上怎样解决.相似类比法,即根据不同对象的某些相
似性,借用已知领域的数学模型,也是构造模型的一种方法.建模时还应遵循的
一个原则是,尽量采用简单的数学工具,因为你建立的模型总是希望能有更多的
人了解和使用,而不是只供少数人欣赏.
模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传
统的和近代的数学方法,特别是计算机技术.一道实际问题的解决往往需要纷
繁的计算,许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来,因此编程和
熟悉数学软件包能力便举足轻重。
模型分析对模型解答进行数学上的分析,有时要根据问题的性质分析变量
间的依赖关系或稳定状况,有时是根据所得结果给出数学上的预报,有时则可能
要给出数学上的最优决策或控制,不论哪种情况还常常需要进行误差分析、模型
对数据的稳定性或灵敏性分析等.
模型检验把数学上分析的结果翻译回到实际问题,并用实际的现象、数据
与之比较,检验模型的合理性和适用性.这一步对于建模的成败是非常重要的
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