初升高数学暑假衔接（人教版）第17讲 函数的零点与方程的解（学生版）.pdf

第17讲函数的零点与方程的解

1．了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的关系；

2．结合具体连续函数及其图象的特点；

3．会借助函数零点崔仔定理判断函数的零点所在的大致区间；

4．能借助函数单调性及图象判断零点个数。

一、函数的零点与方程的解

1、定义：如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.

yfxafa0a



2、注意事项：

（1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；

yf(x)x

（2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；

（3）函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实数根．

3、方程、函数、图象之间的关系

方程fx0有实数根函数yfx的图象与轴有交点函数yfx有零点．

x

二、零点存在定理及其推论

1、定理：如果函数fx在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线，且fafb0，



那么，函数yfx在区间a.b内至少有一个零点，



ca.bfc0cfx0

即存在，使得，这个也就是方程的解。

【注意】（1）定义不能确定零点的个数；

（2）不满足定理条件时依然可能有零点；

（3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件；

（4）定理反之是不成立的.

2、重要推论：

（1）推论1：函数fx在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线，fafb0，



且fx具有单调性，则函数fx在区间a.b内只有一个零点.



（2）推论2：函数fx在区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线，



函数fx在区间a.b内有零点，且函数fx具有单调性，则fafb0



三、零点个数的判断方法

1、直接法：直接求零点，令fx0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点.



2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间a,b上是连续不断的曲线，且fafb0，



结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.

3、图象法：

（1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数

fxfxx



就是函数fx的零点个数；