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24.1测量
知识点利用相似三角形的性质进行测量1利用相似三角形可以解决一些不易直接测量的物体(如旗杆、楼房等)的高度问题,常用的测量方法如下:(1)影子测量法:利用太阳光是平行光线,构造相似三角形进行测量.如图24.1-1①,测量同一时刻人的高度、人的影长和旗杆的影长.
(2)镜子反射法:利用镜子的反射原理——反射角等于入射角,构造相似三角形进行测量.如图24.1-1②,测量人眼到地面的高度、人和旗杆分别到镜子的距离.
(3)标杆测量法:利用视线与标杆,通过从人的眼睛处向物体作垂线,构造相似三角形进行测量.如图24.1-1③,人的底端、标杆的底端与旗杆的底端成一条直线,且旗杆的顶端、标杆的顶端与人的眼睛恰好在同一条直线上.
特别提醒1.用影子测量法求物高的两种方法:一是直接根据线段的比例关系计算;二是利用相似三角形的性质计算.2.在利用相似三角形的性质计算物体的高度时,要找准对应边,根据对应边成比例计算出物体的高度.3.在具体的测量中,要注意测量方法的选择,测量方法要切实可行,测量结果要准确,尽量减少误差.
例1为了测量出某校旗杆的高度,数学活动小组设计了三种方案,示意图如图24.1-2,并测得图①中∠AOB=∠COD,BO=5m,OD=2m,CD=1.6m;
图②中CD=1m,FD=0.45m,EB=1.8m;图③中此人站在CD处,手臂FG向前平伸,BD=12m,EF=0.2m,且此人的臂长为0.6m.说明其中运用的主要知识,并分别计算出旗杆的高度.
解题秘方:紧扣测量方案中出现的相似三角形等知识,利用相似三角形的性质等知识解决问题.
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1-1.[期末·驻马店]如图,小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时,竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m,则旗杆的高为_____.12m
1-2.[中考·河南]综合实践活动中,某小组用木板自制了一个测高仪测量树高,测高仪ABCD为正方形,AB=30cm,顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图,测高仪上的点D,A与树顶E在一条直线上,铅垂线AM交BC于点H.经测量,点A距地面1.8m,到树的距离AF=11m,BH=20cm.求树EG的高度(结果精确到0.1m).
解:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠BAD=90°.又∵点D,A,E在一条直线上,∴∠BAE=90°,∴∠EAF+∠BAF=90°.∵∠MAF=90°,∴∠BAF+∠BAH=90°,∴∠EAF=∠HAB.
如图24.1-3,小明为了估算一条河的宽度,他在河的对岸选定一点A,在河的这一边选定点B,C和E,使AB⊥BC,CE⊥BC,BC和AE交于点D,此时如果测得BD=120米,DC=60米,EC=50米,则河宽AB为______米.例2100
解题秘方:紧扣测量过程中得到的数据,利用相似三角形的性质解决问题.?
2-1.如图,丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时,发现身后他影子的顶部刚好接触路灯AC的底部,当他向前再步行20米到达点Q时,发现身前他影子的顶部刚好接触路灯BD的底部,已知丁轩同学的身高是1.5米,两路灯的高度都是9米,求两路灯之间的距离.
知识点利用勾股定理进行测量21.数学中的测量与物理中的测量属于同一概念,但数学中的测量需要伴随着数学运算,勾股定理就是在实际测量中经常用到的知识.2.数学中的测量工具一般有:刻度尺、测角仪等.
特别提醒应用此种方法的前提是在直角三角形中.
如图24.1-4,在平静的湖面上,有一株荷花高出水面,水深为1.5m,一阵风吹来,荷花被吹到一边,花朵齐及水面,已知荷花移动的水平距离为2m,原来荷花高出水面多少米?解题秘方:紧扣示意图中的直角三角形,利用勾股定理解决问题.例3
解:如图24.1-4,由题意得AC=1.5m,CD=2m,AB=AD.设BC=xm,则AD=AB=(x+1.5)m.在Rt△ACD中,∵AC2+CD2=AD2,∴1.52+22=(1.5+x)2,即x2+3x-4=0,解得x1=1,x2=-4(舍去),即BC=1m.答:原来荷花高出水面1m.
3-1.如图,明明在距离水面高度为5m的岸边C处,用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为13m.若明明收绳6m后,船到达D处,则船向岸A移动了多少米?
测量测量原理勾股定理相似三角形的性质借助太阳光、标杆
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