部编数学八年级上册专项19完全平方公式的几何背景（两大类型）（解析版）含答案.pdfVIP

专项19完全平方公式的几何背景（两大类型）

【典例1】（2022秋•南昌县期中）如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿虚

用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形．

（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于；

（2）请用两种不同的方法列代数式表示图2中阴影部分的面积：方法①；方

法②；

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（3）观察图2，直接写出（m+n），（m﹣n），mn这三个代数式之间的等量关系；

2

（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b＝8，ab＝5，求（a﹣b）的

值．

【解答】解：（1）由拼图可知，图②中阴影部分的边长为m﹣n，

故答案为：m﹣n；

2

（2）阴影部分是边长为m﹣n的正方形，因此面积为（m﹣n），

阴影部分的面积可以看作从边长为m+n的正方形面积中减去4个长为m，宽n的长方形

2

面积，即（m+n）﹣4mn，

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故答案为：（m﹣n），（m+n）﹣4mn；

（3）由（2）中两种方法所表示的图形的面积相等，可得，

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（m﹣n）＝（m+n）﹣4mn；

（4）∵a+b＝8，ab＝5，

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∴（a﹣b）＝（a+b）﹣4ab

＝64﹣20

＝44

【变式1-1】（2022春•玄武区校级期中）观察图形，用两种不同的方法计算大长方形面积，

我们可以验证等式（）

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A．（a+b）（a+2b）＝a+3ab+2b

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B．（a+b）（2a+b）＝2a+3ab+b

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C．（a+b）（a+2b）＝2a+3ab+b

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D．（a+b）（2a+b）＝a+3ab+2b

【答案】A

【解答】解：整体是长为a+2b，宽为a+b的长方形，因此面积为（a+2b）（a+b），

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整体是由6个部分的面积和，即a+3ab+2b，

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因此有（a+2b）（a+b）＝a+3ab+2b，

故选：A．

【变式1-2】（2022秋•渝中区校级月考）如图，两个正方形边长分别为a，b，已知a+b＝

7，ab＝9，则阴影部分的面积为（）

A．10B．11C．12D．13

【答案】B

【解答】解：根据题意可得，

S阴＝a²﹣﹣

＝（a²﹣ab+b²）

＝[（a+b）²﹣3ab]，

把a+b＝7，ab＝9代入上式，

则S阴＝×（72﹣3×9）＝11．

故选：B．

【变式1-3】（2022春•阜宁县期末）图1，是一个长为2m、宽为2n（m＞n）的长方形，用

剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按

图2形式拼成一个正方形，那么中间阴影部分的面积为（）

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