第23讲 立体几何中求角度、距离类型（原卷版）.docx

第23讲立体几何求角度、距离9类

【题型一】求异面直线所成的角

【典例分析】

如图，已知，分别是正四面体的侧面与侧面上动点（不包含侧面边界），则异面直线，所成角不可能的是

A． B． C． D．

【变式演练】

1.从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a，b，且a，b是异面直线，则a，b所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（）

A．； B．

C．； D．．

2.如图，已知正三棱锥，，，点，分别棱，上（不包含端点），则直线，所成的角的取值范围是______.

3.在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点为正方形内部的一点，且，则直线与所成角的余弦值的取值范围为

A． B． C． D．

【题型二】求直线和平面所成角

【典例分析】

如图，在四棱锥P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝，AB＝，PA＝，DA⊥AB，点Q在PB上，且满足PQ∶QB=1∶3，求直线CQ与平面PAC所成角的正弦值．

【变式演练】

1.如图，已知，分别是圆柱上?下底面圆的直径，且，若该圆柱的侧面积是其上底面面积的倍，则与平面所成的角为（）

A． B． C． D．

2.设正方体棱长为1，平面经过顶点，且与棱AB?AD?所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面共有（）个.

A．1 B．2 C．3 D．4

3.如图，在四面体VABC中，已知VA⊥平面VBC，VA与平面ABC所成的角为45°，D是BC上一动点，设直线VD与平面ABC所成的角为θ，则（）

A．θ≤60° B．θ≥30° C．θ≤45° D．θ≤75°

【题型三】求二面角的平面角

【典例分析】

已知四面体的每个顶点都在球O（О为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（）

A． B． C． D．

【变式演练】

1.设，是平面内所成角为的两条直线，过，分别作平面，，且锐二面角的大小为，锐二面角的大小为，则平面，所成的锐二面角的平面角的余弦值可能是（）

A． B． C． D．

2.过正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（）

A． B． C． D．

3.如图，在长方体中，，，，分别是，，的中点，记直线与所成的角为，平面与平面所成二面角为，则（）

A． B．

C． D．

【题型四】翻折中的角度

【典例分析】

如图，矩形中，，，．将梯形ADEF沿着EF翻折成梯形，则与平面所成角可以是（）

A．90° B．75° C．45° D．30°

【变式演练】

1.如图，矩形中，已知，，为的中点．将沿着向上翻折至，记锐二面角的平面角为，与平面所成的角为，则下列结论不可能成立的是（）

A． B．

C． D．

2.已知，，D是的中点，将沿翻折，得到，设与平面所成的角为，与平面所成的角为，与平面所成的角为，则（）

A． B． C． D．

3.如图，矩形中，已知为的中点．将沿着向上翻折至得到四棱锥．平面与平面所成锐二面角为，直线与平面所成角为，则下列说法错误的是（）

A．若为中点，则无论翻折到哪个位置都有平面平面

B．若为中点，则无论翻折到哪个位置都有平面

C．

D．存在某一翻折位置，使

【题型五】三种角度之间的相互关系

【典例分析】

过正方体棱的中点与直线所成角为，且与平面所成角为的直线条数为（）

【变式演练】

1.如图，二面角的大小是，线段．，与所成的角为．直线与平面所成的角的正弦值是（）

A． B． C． D．

2.已知正方体和空间任意直线，若直线与直线所成的角为，与直线所成的角为，与平面所成的角为，与平面所成的角为，则（）

A． B．

C． D．

3.已知平面内的，射线与所成的角均为135°，则与平面所成的角的余弦值是（）

A． B． C． D．

【题型六】三种角度比大小

【典例分析】

如图，在三棱锥中，，，，分别为，的中点，记平面与平面所成的角为，直线，与平面所成的角分别为，，若，则（）

A．，B．，C．， D．，

【变式演练】

1.如图，在等边三角形中，分别是线段上异于端点的动点，且，现将三角形沿直线折起，使平面平面，当从滑动到的过程中，则下列选项中错误的是（）

A．的大小不会发生变化 B．二面角的平面角的大小不会发生变化

C．与平面所成的角变大 D．与所成的角先变小后变大

2.如图，在三棱锥中，，，D是棱上一点（不含端点）且，记为，直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，则（）

A． B． C． D．

3.已知三棱锥，记二面角的平面角是，直线与平面所成的角是，直线与所成的角是，则（）

A． B． C． D．

【题型七】球中的角度

【典例分析】

已知AB、CD是圆