部编数学八年级上册全等变化模型八手拉手模型（解析版）含答案.pdfVIP

全等变化模型八手拉手模型

【模型展示】

BACDAE，ABAC，ADAE

【模型条件】

BDCE

【模型结论】

证明：

等边△ABC和等边CDE，且A、C、D三点线,如下图所示：

【模型应用】

（1）、AD=BE

（2）、∠ACB=∠AOB

（3）、△PCQ为等边三角形

（4）、PQ∥AE

（5）、AP=BQ

（6）、CO平分∠AOE

（7）、OA=OB+OC

（8）、OE=OC+OD

请对以上结论（5）、结论（6）结论（7）进行证明。

证明：

【模型巩固】

【例8-1】如图，在等腰△ABC中，BA＝BC，点F在AB边上，延长CF交AD于点E，BD＝BE，∠

ABC＝∠DBE．（1）求证：AD＝CE；（2）若∠ABC＝30°，∠AFC＝45°，求∠EAC的度数．

【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，

∴∠ABC+∠ABE＝∠DBE+∠ABE，

∴∠ABD＝∠CBE．

在△ADB和△CEB中，

，

∴△ADB≌△CEB（SAS），

∴AD＝CE；

（2）解：∵BA＝BC，∠ABC＝30°，

∴∠BAC＝∠BCA＝（180°﹣30°）＝75°，

∵∠AFC＝45°，

∴∠BCE＝∠AFC﹣∠ABC＝45°﹣30°＝15°，

∵△ADB≌△CEB，

∴∠BAD＝∠BCE＝15°，

∴∠EAC＝∠BAD+∠BAC＝15°+75°＝90°．

【例8-2】如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，

求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）试判断△ADE的形状，并证明．

【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，

∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，

∴∠ACD＝120°，

∵CE平分∠ACD，

∴∠ACE＝∠DCE＝60°，

∴∠B＝∠ACE，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS）；

（2）解：△ADE是等边三角形，证明如下：

由（1）得：△ABD≌△ACE，

∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，

即∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，

∴∠DAE＝∠BAC＝60°，

∴△ADE为等边三角形．

【例8-3】如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE交于点H，连CH．

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）求证：CH平分∠AHE；

（3）求∠CHE的度数．（用含α的式子表示）

【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝α，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）证明：过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAM＝∠CBN，

在△ACM和△BCN中，

，

∴△ACM≌△BCN（AAS），

∴CM＝CN，

∴CH平分∠AHE；

（3）∵△ACD≌△BCE，

∴∠CAD＝∠CBE，

∴∠AHB＝∠ACB＝α，

∴∠AHE＝180°﹣α，

∴∠CHE＝∠AHE＝90°﹣α．

【例8-4】如图1，点M为直线AB上一动点，DPAB，DPMN都是等边三角形，连接BN

（1）求证：AMBN；

（2）分别写出点M在如图2和图3所示位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系（不需证

明）；

（3）如图4，当BMAB时，证明：MN^AB．

【解答】（1）证明：QDPAB和DPM