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4.4对数函数
4.4.1对数函数的概念
4.4.2对数函数的图象和性质
第一课时对数函数的概念及其图象和性质;课标要求;新知探究;提示两个函数都是对数的真数作为函数的自变量.;1.的概念;2.对数函数y=logax(a0,且a≠1)的图象和性质;(0,+∞);提示对数函数中自变量x在真数的位置上,且x0,所以错误.
2.函数y=2log3x是对数函数.()
提示在解析式y=logax中,logax的系数必须是1,所以错误.
3.函数y=log3(x+1)的定义域是(0,+∞).()
提示由对数式y=log3(x+1)的真数x+10可得x-1,所以函数的定义域为(-1,+∞),所以错误.;[微训练]
1.若对数函数的图象过点P(9,2),则此对数函数的解析式为________.
解析设对数函数为y=logax(a0且a≠1),∴2=loga9,∴a=3,∴解析式为y=log3x.
答案y=log3x;[微思考]
1.对数函数的解析式中的底数能否等于0或小于0?
提示因为y=logax?x=ay,而在指数函数中底数a需要满足a0且a≠1,故在对数函数解析式中a的取值范围不能等于0或小于0.;题型一对数函数的概念及应用
【例1】(1)下列函数表达式中,是对数函数的有();解析(1)由于①中自变量出现在底数上,∴①不是对数函数;由于②中底数a∈R不能保证a0,且a≠1,
∴②不是对数函数;由于⑤⑦的真数分别为(x+2),(x+1),∴⑤⑦也不是对数函数;由于⑥中log4x的系数为2,
∴⑥也不是对数函数.只有③④符合对数函数的定义.;规律方法判断一个函数是对数函数的方法;答案(1)4(2)-1;题型二对数型函数的定义域;规律方法求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时,被开方数非负.
(3)对数的真数大于0,底数大于0且不为1.;【训练2】求下列函数的定义域:;题型三对数函数的图象问题
【例3】已知y=lgx的图象,如图所示,由图象作出y=lg|x|和y=|lgx|的图象,并解答以下问题:;(2)函数f(x)=|lgx|,若0ab,且f(a)f(b).
证明:ab1.;(1)从图(1)可以看出,选项B正确.
(2)由图(2)可以看出,若0ab1满足f(a)f(b),此时有ab1成立;
若0a1b,??f(a)=|lga|=-lga,f(b)=|lgb|=lgb,
因为f(a)f(b),所以-lgalgb,即lga+lgb0,
lg(ab)0,所以ab1;
若1ab,则f(a)f(b)与条件f(a)f(b)相矛盾.
综上可知,若0ab,且f(a)f(b)时,ab1.;规律方法(1)作y=f(|x|),保留y=f(x)(x≥0)图象不变,x0时y=f(|x|)图象与y=f(x)(x0)的图象关于y轴对称.
(2)作y=|f(x)|图象时,保留y=f(x)的x轴及上方图象不变,把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可.
(3)有关对数函数平移也符合“左加右减,上加下减”的规律.
(4)y=f(-x)与y=f(x)关于y轴对称,y=-f(x)与y=f(x)关于x轴对称,y=-f(-x)与y=f(x)关于原点对称.;【训练3】(1)函数y=loga(x+2)+1的图象过定点();解析(1)令x+2=1,即x=-1,得y=loga1+1=1,故函数y=loga(x+2)+1的图象过定点(-1,1).
(2)由函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中ab)的图象可知0a1,b-1.所以函数g(x)=b+logax是减函数,因为b-1,所以函数g(x)=b+logax的图象与x轴的交点位于(0,0)与(1,0)之间.故选D.
答案(1)D(2)D;一、素养落地
1.通过学习对数函数的概念,培养数学抽象素养,通过运用函数的图象与简单的性质解决问题,提升直观想象素养及数学运算素养.
2.判断一个函数是不是对数函数,关键是分析所给函数是否具有y=logax(a0,且a≠1)这种形式.
3.在对数函数y=logax中,底数a对其图象直接产生影响,学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质.
4.涉及对数函数定义域的问题,常从真数和底数两个角度分析.;二、素养训练
1.下列函数是对数函数的是();A.(1,2) B.(1,2]
C.(-2,1) D.[-2,1)
解析由4-x2≥0得-2≤x≤2,∴A=[-2,2],由1-x0得x1,∴B=(-∞,1).∴A∩B=[-2,1),故选D.
答案D;3.若函数f(x)=2loga
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