专题3 阿基米德三角形 微点1 阿基米德三角形（学生版）.docx

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专题3阿基米德三角形

微点1阿基米德三角形

【微点综述】

在近几年全国各地高考的解析几何试题中可以发现许多试题涉及到与一个特殊的三角形——由抛物线的弦及过弦的端点的两条切线所围成的三角形有关的问题，这个三角形常被称为阿基米德三角形.阿基米德三角形包含了直线与圆锥曲线相交、相切两种位置关系，聚焦了轨迹方程、定值、定点、弦长、面积等解析几何的核心问题，“坐标法”的解题思想和数形结合方法的优势体现得淋漓尽致，能很好的提升学生解决圆锥曲线问题的能力，落实逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养.鉴于此，微点研究阿基米德三角形。

一、预备知识——抛物线上一点的切线方程

（1）过抛物线上一点的切线方程为：；

（2）过抛物线上一点的切线方程为：；

（3）过抛物线上一点的切线方程为：；

（4）过抛物线上一点的切线方程为：．

下面仅以情形（3）为例给出证明，同理可证其余三种情形。

证法1：设抛物线上一点的切线方程为：，代入，整理得，

由，得抛物线上一点处的切线唯一，关于的一元二次方程有两个相等的实数根，所求的切线方程为，即，又，过抛物线上一点的切线方程为：。

证法2：，甴导数的几何意义得所求切线的斜率为所求的切线方程为，即，又，过抛物线上一点的切线方程为：。

二、阿基米德三角形概念

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形（如图1，即为阿基米德三角形）．

重要结论：抛物线与弦之间所围成区域的面积（图二中的阴影部分）为阿基米德三角形面积的三分之二．

阿基米德运用逼近的方法证明了这个结论．

证明：如图3，是中边上的中线，则平行于轴（下面的性质1证明会证到），过作抛物线的切线，分别交、于，则、也是阿基米德三角形，可知是中边上的中线，且平行于轴，可得点是的中点，同理是的中点，故是的中点，则是的，由此可知：是的，是的，以此类推，图2中蓝色部分的面积是红色部分而知的，累加至无穷尽处，便证得重要结论．

三、阿基米德三角形的性质

【性质1】阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．

证明：设为弦AB的中点，则过A的切线方程为，过B的切线方程为，联立方程，，，解得两切线交点，又，//轴．

【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内的定点，则另一顶点的轨迹为一条直线．

证明：设，，为抛物线内的定点，弦的过定点，则过的切线方程为，过的切线方程为，则设另一顶点，满足且，故弦所在的直线方程为，又由于弦过抛物线内的定点，故，即点的轨迹方程为直线．

【性质3】抛物线以点为中点的弦平行于点的轨迹．

证明：由性质2的证明可知：点的轨迹方程为直线．∵点为弦的中点，故的轨迹方程为，斜率；而弦所在的直线方程为，由性质1的证明可知：，，故弦所在的直线方程为，斜率，又∵直线与的轨迹方程不重合，故可知两者平行．

【性质4】若直线与抛物线没有公共点，以上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点（若直线方程为：，则定点的坐标为．

证明：任取直线：上的一点，则有，即┅①，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则又由性质2的证明可知：弦所在的直线方程为，把①式代入可得：，即，令且，可得：弦所在的直线过定点．

【性质5】底边为的阿基米德三角形的面积最大值为．

证明：，设到的距离为，由性质1知：

（直角边与斜边），

设直线的方程为，则，

∴．

【性质6】若阿基米德三角形的底边过焦点，顶点的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小值为．

证明：由性质2，若底边过焦点，则，点的轨迹方程是，即为准线；易验证，即，故阿基米德三角形为直角三角形，且为直角顶点，阿基米德三角形的面积最小值为．

【性质7】在阿基米德三角形中，．

证明：作准线，准线，连接，则，显然，

∴，又∵，由三角形全等可得，

∴，

同理可得，

∴．

【性质8】抛物线上任取一点（不与重合），过作抛物线切线交，于，则的垂心在准线上．

证明：设，，，可求得过的切线交点，过向作垂线，垂线方程为：，它和抛物线准线的交点的纵坐标为，同理可知：，过向作垂线，垂线方程为：，它和抛物线准线的交点的纵坐标为：，即交点坐标相同，即可得的垂心在准线上．

【性质9】．

证明：，

而．

【性质10】的中点在抛物线上，且处的切线与平行．

证明：由性质1知，可得点坐标为，此点显然在抛物线上；过点的切线斜率为，结论得证．

【性质11】抛物线上任取一点（不与重合），过作抛物线切线交，于，连接，则的面积是面积的2倍．

证明：如图所示：由阿基米德重要结论：抛物线与弦之间所围成区域的面积（图二中的阴影部分）为阿基米德三角形面积的三分之二可知：的面积是弦与抛物线围成的面