第七章---微分方程(三峡大学高等数学教案).doc

第七章微分方程

教学目的：

1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。

2．熟练掌握变量可别离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。

3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。

会用降阶法解以下微分方程：，和

理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。

8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。

9．会解微分方程组〔或方程组〕解决一些简单的应用问题。

教学重点：

可别离的微分方程及一阶线性微分方程的解法

可降阶的高阶微分方程，和

二阶常系数齐次线性微分方程；

自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；

教学难点：

齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；

线性微分方程解的性质及解的结构定理；

3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。

§7?1微分方程的根本概念

函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映?利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究?因此如何寻找出所需要的函数关系?在实践中具有重要意义?在许多问题中?往往不能直接找出所需要的函数关系?但是根据问题所提供的情况?有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式?这样的关系就是所谓微分方程?微分方程建立以后?对它进行研究?找出未知函数来?这就是解微分方程?

例1一曲线通过点(1?2)?且在该曲线上任一点M(x?y)处的切线的斜率为2x?求这曲线的方程?

解设所求曲线的方程为y?y(x)?根据导数的几何意义?可知未知函数y?y(x)应满足关系式(称为微分方程)

?(1)

此外?未知函数y?y(x)还应满足以下条件?

x?1时?y?2?简记为y|x?1?2?(2)

把(1)式两端积分?得(称为微分方程的通解)

?即y?x2?C?(3)

其中C是任意常数?

把条件“x?1时?y?2”代入(3)式?得

2?12?C?

由此定出C?1?把C?1代入(3)式?得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y|x?1?2的解)?

y?x2?1?

例2列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶?当制动时列车获得加速度?0?4m/s2?问开始制动后多少时间列车才能停住?以及列车在这段时间里行驶了多少路程?

解设列车在开始制动后t秒时行驶了s米?根据题意?反映制动阶段列车运动规律的函数s?s(t)应满足关系式

?(4)

此外?未知函数s?s(t)还应满足以下条件?

t?0时?s?0??简记为s|t?0=0?s?|t?0=20?(5)

把(4)式两端积分一次?得

?(6)

再积分一次?得

s??0?2t2?C1t?C2?(7)

这里C1?C2都是任意常数?

把条件v|t?0?20代入(6)得

20?C1?

把条件s|t?0?0代入(7)得0?C2?

把C1?C2的值代入(6)及(7)式得

v??0?4t?20?(8)

s??0?2t2?20t?(9)

在(8)式中令v?0?得到列车从开始制动到完全停住所需的时间

(s)?

再把t?50代入(9)?得到列车在制动阶段行驶的路程

s??0?2?502?20?50?500(m)?

几个概念?

微分方程?表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程?叫微分方程?

常微分方程?未知函数是一元函数的微分方程?叫常微分方程?

偏微分方程?未知函数是多元函数的微分方程?叫偏微分方程?

微分方程的阶?微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数?叫微分方程的阶?

x3y????x2y???4xy??3x2?

y(4)?4y????10y???12y??5y?sin2x?

y(n)?1?0?

一般n阶微分方程?

F(x?y?y??????y(n))?0?

y(n)?f(x?y?y??????y(n?1))?

微分方程的解?满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解?确切地说?设函数y??(x)在区间I上有n阶连续导数?如果在区间I上?

F[x??(x)???(x)??????(n)(x)]?0?

那么函数y??(x)就叫做微分方程F(x?y?y??????y(n))?0在区间I上的解?

通解?如果微