专题8.2 空间几何体的表面积和体积【原卷版】.docx

专题8.2空间几何体的表面积和体积

【核心素养】

1.通过考查几何体体积和表面积的计算，主要考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特征及体积与表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．

2.结合三视图、直观图、展开图、轴截面、截面等，考查球的切、接问题，主要考查几何体与球的组合体的识辨，球的体积、表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．

知识点

知识点一

几何体的侧面积、表面积

圆柱的侧面积

圆柱的表面积

圆锥的侧面积

圆锥的表面积

圆台的侧面积

圆台的表面积

球体的表面积

柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.

把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.

知识点

知识点二

几何体的体积

圆柱的体积

圆锥的体积

圆台的体积

球体的体积

正方体的体积

正方体的体积

知识点

知识点三

多面体的内切球与外接球常用的结论

多面体的内切球与外接球常用的结论

(1)设正方体的棱长为a，则它的内切球半径r＝，外接球半径R＝.

(2)设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的外接球半径R＝.

(3)设正四面体的棱长为a，则它的高为H＝，内切球半径r＝H＝，外接球半径R＝H＝.

常考题型剖析

常考题型剖析

题型一：空间几何体的表（侧）面积

【典例分析】

例1-1.（2021·江苏·高考真题）若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则它的底面积与侧面积之比是（???????）

A． B． C． D．

例1-2.（2021·全国·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（???????）

A．26% B．34% C．42% D．50%

【规律方法】

几类空间几何体表面积的求法

(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．

(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．

(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．

(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．

【变式训练】

变式1-1.（2020·全国·高考真题（理））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（???????）

A． B． C． D．

变式1-2.（2023·全国·高一课堂例题）设计一个正四棱锥形冰水塔塔顶，高是1.0m，底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板（精确到）？

题型二：空间几何体的体积

例2-1.（2023·全国·统考高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（????）

A． B． C． D．

例2-2.（2023·天津·统考高考真题）在三棱锥中，线段上的点满足，线段上的点满足，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（????）

A． B． C． D．

【规律方法】

1.处理体积问题的思路

(1)“转”：指的是转换底面与高，将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面，或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高，即等体积法；

(2)“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算，即分割法；

(3)“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原成一个四棱柱，这些都是拼补的方法，即补形法．

2.求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.

【变式训练】

变式2-1.（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（???????）

A． B． C． D．

变式2-2.（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部