专题7.4 数列求和【原卷版】.docx

专题7.4数列求和

【核心素养】

1．结合具体问题的计算，考查等差、等比数列的通项公式与前n项和公式，凸显数学运算的核心素养．

2．与实际应用问题、数学文化相结合，考查数列的应用，凸显数学建模的核心素养．

3.考查各种数列的求和，凸显逻辑推理、数学运算及数学应用等核心素养.

知识点一

知识点一

数列的求和公式

1.等差数列的前和的求和公式：.

2．等比数列前项和公式

一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.

3.常见数列前项和

①重要公式：（1）

（2）

（3）

（4）

②等差数列中，；

③等比数列中，.

知识点二

知识点二

几种数列求和的常用方法

(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．

(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和．裂项时常用的三种变形：

①；

②；

③.

(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．

(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解．

(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．

例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12

＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.

常考题型剖析

常考题型剖析

题型一：公式法求和

【典例分析】

例1-1.（2023·北京·统考高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则；数列所有项的和为．

例1-2.（2020·海南·高考真题）已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）求.

【规律方法】

关键是明确数列类型，正确计算公式所需元素，选用公式加以计算.

【变式训练】

变式1-1.（2023秋·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知为数列的前项积，若，则数列的前项和（????）

A． B． C． D．

变式1-2.（2023·全国·高三专题练习）从盛有盐的质量分数为20％的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg清水．以后每次都倒出1kg盐水，然后加入1kg清水．问：

(1)第5次倒出的1kg盐水中含盐多少？

(2)经6次倒出后，一共倒出多少盐？此时加1kg清水后容器内盐的质量分数为多少？

题型二：分组求和与并项求和

例2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为，，当时，，则等于（????）

A．1008 B．1009 C．1010 D．1011

例2-2.（2021·全国·统考高考真题）已知数列满足，

（1）记，写出，，并求数列的通项公式；

（2）求的前20项和.

【规律方法】

分组转化法求和的常见类型

(1)若，且为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{}的前n项和．

(2)通项公式为的数列，其中数列是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）.

提醒：注意在含有字母的数列中要对字母进行分类讨论．

【变式训练】

变式2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的前n项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

变式2-2.（2023秋·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）各项都为正数的数列的前n项和为，已知.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，，数列满足，数列的前n项和为，当n为偶数时，求.

题型三：裂项相消法求和

【典例分析】

例3-1．（2021·浙江·统考高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（????）

A． B． C． D．

例3-2.（2022·全国·统考高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)证明：．

【规律方法】

1.裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．

2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．

【变式训练】

变式3-1.（2023秋·山西大同·高三统考开学考试）设为公差不为0的等差数列的前项和，若，，成等比数列，．

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的