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专题3.6对数与对数函数
【核心素养】
1.以对数函数为载体,考查函数的单调性、待定系数法、换元法等,凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
2.与不等式、方程等相结合考查函数的图象、单调性、奇偶性,凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养.
3.与幂函数、指数函数、二次函数、不等式、方程等结合,考查函数的实际应用以及函数性质的综合应用,凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识点一
知识点一
对数及其运算
1.对数的概念
(1)如果ax=N(a0,且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
(2)对数的性质:①负数和零没对数;②;=3\*GB3③;
(3)对数恒等式alogaN=N
2.对数的运算法则
如果a0且a≠1,M0,N0,那么
①loga(MN)=logaM+logaN;
②logaeq\f(M,N)=logaM-logaN;
③logaMn=nlogaM(n∈R);
④logamMn=eq\f(n,m)logaM(m,n∈R,且m≠0).
(3)对数的重要公式
①换底公式:logbN=eq\f(logaN,logab)(a,b均大于零且不等于1);
②logab=eq\f(1,logba),推广logab·logbc·logcd=logad.
=3\*GB3③logaab=b(a0,且a≠1)
知识点二
知识点二
对数函数及其性质
1.概念:函数y=logax(a0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
2.对数函数的图象与性质
a1
0a1
图象
性质
定义域:(0,+∞)
值域:R
当x=1时,y=0,即过定点(1,0)
当x1时,y0;
当0x1时,y0
当x1时,y0;
当0x1时,y0
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
3.对数函数的图象规律
(1)不管a1还是0a1,底大图低;
(2)在第一象限内,依图象的分布,逆时针方向a逐渐变小,即a的值越小,图象越靠近y轴.
知识点三
知识点三
反函数
对数函数y=logax(a>0,且a≠1)和指数函数y=ax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
常考题型剖析
常考题型剖析
题型一:对数的化简、求值
【典例分析】
例1-1.(2022·浙江·统考高考真题)已知,则(????)
A.25 B.5 C. D.
例1-2.(2022·天津·统考高考真题)化简的值为(?????????)
A.1 B.2 C.4 D.6
例1-3.(2020·全国高考真题(理))已知5584,13485.设a=log53,b=log85,c=log138,则()
A.abc B.bac C.bca D.cab
【规律方法】
1.对数性质在计算中的应用
(1)对数运算时的常用性质:logaa=1,loga1=0.
(2)使用对数的性质时,有时需要将底数或真数进行变形后才能运用;对于多重对数符号的,可以先把内层视为整体,逐层使用对数的性质.
2.对数运算的一般思路
(1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数运算性质化简合并.
(2)合:将对数式化为同底数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.
【变式训练】
变式1-1.(2020·全国·统考高考真题)设,则(????)
A. B. C. D.
变式1-2.(2023·全国·高三专题练习)若,则的值为()
A. B.3 C.4 D.
变式1-3.(2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测)已知,,且,则的最小值为(????)
A. B.21 C.25 D.
题型二:对数函数的解析式及其求值
例2-1.(2023·广东东莞·统考模拟预测)已知函数,则(????)
A.4 B.5 C.6 D.7
例2-2.(2023·全国·高三专题练习)写出一个具有性质①②③的函数____________.
①的定义域为;
②;
③当时,.
例2-3.(2023·北京·统考高考真题)已知函数,则____________.
【规律方法】
1.对数函数的解析式同时满足:
①对数符号前面的系数是1;②对数的底数是不等于1的正实数(常数);③对数的真数仅有自变量x.
2.确定对数函数的解析式,常常利用“待定系数法”.
3.涉及对数函数求函数值问题,有时直接将自变量值代入,有时需先求函数的解析式,再求函数值.
【变式训练】
变式2-1.(2006·辽宁·高考真题)设,则______.
变式2-2.(2022秋·北
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