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专题3.3函数的奇偶性与周期性
【核心素养】
1.以常见函数为载体,考查函数的奇偶性与周期性,凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
2.与不等式、方程等相结合考查函数的单调性、奇偶性,凸显分类讨论思想、数形结合思想的应用及数学运算的核心素养.
3.与函数、不等式结合,考查函数性质的综合应用,凸显直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
知识点一
知识点一
函数的奇偶性
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
2.函数奇偶性的几个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空数集.
(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性,偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.即“奇同偶反”.
3.有关对称性的结论
(1)若函数y=f(x+a)为偶函数,则函数y=f(x)关于x=a对称.
若函数y=f(x+a)为奇函数,则函数y=f(x)关于点(a,0)对称.
(2)若f(x)=f(2a-x),则函数f(x)关于x=a对称;若f(x)+f(2a-x)=2b,则函数f(x)关于点(a,b)对称.
知识点二
知识点二
函数的周期性
1.函数的周期性
(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
2.常用结论
周期性常用的几个结论如下:
定义式f(x+T)=f(x)对定义域内的x是恒成立的.
(1)对时,若或()恒成立,则是的一个周期;
(2)对时,若或或()恒成立,则是的一个周期;
(3)若为偶函数,其图象又关于对称,则是以为一个周期的周期函数;
(4)若为奇函数,其图象又关于对称,则是以为一个周期的周期函数.
(5)若f(x+a)=f(x+b),则函数f(x)的周期为T=|a-b|;
常考题型剖析
常考题型剖析
题型一:函数奇偶性的判断
【典例分析】
例1-1.(2021·全国·统考高考真题)设函数,则下列函数中为奇函数的是(????)
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】分别求出选项的函数解析式,再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得,
对于A,不是奇函数;
对于B,是奇函数;
对于C,,定义域不关于原点对称,不是奇函数;
对于D,,定义域不关于原点对称,不是奇函数.
故选:B
例1-2.(2023·北京·北京八十中校考模拟预测)下列函数中,与函数的奇偶性、单调性均相同的是(????).
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】判断函数的奇偶性和单调性,再判断选项AC的奇偶性,排除AC,判断选项B的单调性,排除B,判断选项D的奇偶性和单调性确定结论.
【详解】函数的定义域为,定义域关于原点对称,
由,所以函数为奇函数,
因为函数为上的增函数,函数为上的减函数,
所以函数为上的增函数,
对于A,设,函数的定义域为,定义域关于原点对称,
因为,,
因为,所以函数不是奇函数,A错误;
对于B,设,则,
故函数不是其定义域上的增函数,B错误;
对于C,设,函数的定义域为,定义域关于原点对称,
因为,所以函数为偶函数,C错误;
对于D,设,则的定义域为,定义域关于原点对称,
又,所以函数为奇函数,
又函数为上的增函数,D正确;
故选:D.
【知识拓展】
(1)奇、偶函数定义域的特点.
由于f(x)和f(-x)须同时有意义,所以奇、偶函数的定义域关于原点对称.这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;
(2)奇、偶函数的对应关系的特点.
①奇函数有f(-x)=-f(x)?f(-x)+f(x)=0?eq\f(f?-x?,f?x?)=-1(f(x)≠0);
②偶函数有f(-x)=f(x)?f(-x)-f(x)=0?eq\f(f?-x?,f?x?)=1(f(x)≠0).
(3)函数奇偶性的三个关注点.
①若奇函数在原点处有定义,则必有f(0)=0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数;
②既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型,即f(x)=0,x∈D,其中定义域D是关于原点对称的非空集合;
③
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