专练08 解析几何的二十个考查热点【解析版】.docx

专练08解析几何的二十个考查热点

热点题型速览

热点题型速览

热点一

热点一

斜率、直线方程

1．（2022·全国·统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（????）

A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9

【答案】D

【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.

【详解】设，则，

依题意，有，且，

所以，故，

故选：D

2.（2023上·安徽合肥·高三合肥市第十中学校联考期中）点分别是函数图象上的动点，则的最小值为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】当函数在点处的切线与平行时，最小，根据导数的几何意义求出切点即可.

【详解】当函数在点处的切线与平行时，最小.

，令得或（舍），所以切点为，

所以的最小值为切点到直线的距离，

所以的最小值为.

故选：D.

【点评】

直线的斜率与倾斜角往往综合考查，特别要注意与导数的几何意义的交汇问题.

2.求直线的斜率与倾斜角的范围.若斜率k是含参数的一个式子，则利用函数或不等式的方法求其范围；若是给出图形求斜率与倾斜角的范围，则采用数开结合的方法求其范围．

热点

热点二

直线与圆

3．（2020·全国·统考高考真题）已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（????）

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】B

【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.

【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，

设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时

根据弦长公式得最小值为.

故选：B.

4.（2023·全国·统考高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（????）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.

【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径，

过点作圆C的切线，切点为，

因为，则，

可得，

则，

，

即为钝角，

所以；

法二：圆的圆心，半径，

过点作圆C的切线，切点为，连接，

可得，则，

因为

且，则，

即，解得，

即为钝角，则，

且为锐角，所以；

方法三：圆的圆心，半径，

若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；

若切线斜率存在，设切线方程为，即，

则，整理得，且

设两切线斜率分别为，则，

可得，

所以，即，可得，

则，

且，则，解得.

故选：B.

????

【点评】

直线与圆的问题，是高考命题的大热门，往往涉及直线、距离公式、圆的方程、圆的性质、直线与圆的“切交离”三种位置关系、圆与圆等，命题角度极为灵活.应特别注意判断直线与圆相切的几何法以及弦长的两种求法：

(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．

(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq\r(r2－d2).

热点

热点三

曲线与方程

5．（2020·全国·统考高考真题）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（????）

A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线

【答案】A

【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.

【详解】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，

??

则：，设，可得：，

从而：，

结合题意可得：，

整理可得：，

即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.

故选：A.

6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）设，两点的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为常数，则下列结论正确的是（????）

A．时，点的轨迹为焦点在轴的双曲线（不含与轴的交点）

B．时，点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点）

C．时，点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点）

D．时，点的轨迹为椭圆（不含与轴的交点）

【答案】AB

【分析】设，由斜率公式得到，再根据各个选项中的取值范围，结合椭圆和双曲线的标准方程，进行分析判断即可得解.

【详解】设，则，，则，

即得，整理可得，

当时，易知点的轨迹为焦点在轴的双曲线（不含与轴的交点），故A正确；

当时，可化为，因为，

所以点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点），故B正确；

当时，可化为，因为，

所以点的轨迹为焦点在轴，以，为短轴端点的椭圆（除去点，），故C错误；

若，则，