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专练02不等式恒成立问题
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二次不等式在R上的恒成立问题
1.(2023春·天津红桥·高一天津三中校考期中)关于的不等式的解集为,则的取值范围是(????).
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】分以及,结合二次函数的性质,列出不等式组,求解即可得出答案.
【详解】当时,原不等式可化为在R上恒成立;
当时,由不等式的解集为,
可知应有,解得.
综上所述,的取值范围是.
故选:B.
2.(2022秋·江西宜春·高一校考阶段练习)已知函数的定义域为,则实数的范围________.
【答案】
【分析】利用函数定域为,将问题转化成关于不等式的恒成立问题,从而求出实数的取值范围,得出结果.
【详解】因为函数的定义域为,所恒成立,
当时,恒成立,
当时,则,解得,
综上所述,.
故答案为:.
3.(2023·全国·高三专题练习)若不等式对恒成立,则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】先移项,根据不等式是否为二次不等式分类讨论,当是一次不等式,若对恒成立,只需是恒等式,若是二次不等式,只需开口向上且判别式小于零,建立不等式解出即可.
【详解】解:原不等式可化为对恒成立.
(1)当时,若不等式对恒成立,
只需,解得;
(2)当时,若该二次不等式恒成立,
只需,解得,
所以;
综上:.
故答案为:
4.(2023春·浙江·高一校联考期中)已知对任意,均有不等式成立,其中.若存在使得成立,则的最小值为___________.
【答案】/0.25
【分析】由一元二次不等式恒成立得、,将问题化为求的最小值,令则,应用基本不等式求最值,注意取值条件.
【详解】由题设,有,又,则,
又,则,
故存在使成立,则,
所以,令,故,
所以,且,
而,仅当,即等号成立,
所以,仅当且时等号成立,故的最小值为.
故答案为:
【点睛】关键点点睛:根据一元二次不等式求参数的符号和大小关系,将题设条件化为求的最小值,结合换元法、基本不等式求最值.
5.(2023春·山东滨州·高二校考阶段练习)当a为何值时,一元二次不等式(a-4)x2+10x+a<4的解集为R?
【答案】
【分析】根据二次项系数分类讨论.
【详解】时,不等式为,不合题意;
时,不等式为,解集为,
则,解得.
所以当且仅当时,题设不等式的解集为R.
【点评】
1.二次不等式在全集R上恒成立,恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方;
2.有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从:①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号四个方面分析.
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二次不等式在给定区间上的恒成立问题
6.(2023·福建·统考模拟预测)已知,恒成立,则的一个充分不必要条件是(????)
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】先通过选项求出是什么条件,选出符合题目要求的充分不必要条件即可.
【详解】,,得,A是的必要不充分条件,B是的必要不充分条件,C:是的充要条件,D:是的充分不必要条件.
故选:D.
7.(2023春·江苏泰州·高一泰州中学校考期中)在中,内角,,,.若对于任意实数,不等式恒成立,则实数的取值范围为(????)
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】设,则,并确定的取值范围,再由关于的一元二次不等式恒成立,求出间的不等量关系,利用的取值范围,即可求出结果.
【详解】在中,,
记,则,
因为,所以,,
从而,
所以可化为,
即恒成立,所以依题有,
化简得,即得恒成立,又由,
得或.
故选:D.
8.(2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试)对于任意实数及,均有,则实数的取值范围是(????)
A. B.
C. D.
【答案】D
【分析】先将除了以外的量看成常量,运用基本不等式先求出左边表达式的最小值,然后利用分离参数,结合对勾函数性质求解.
【详解】由基本不等式,,故只需要即可,
即对于任意的,恒成立,等价于对任意的,,或.
当时,由于,原式可变形为,记,
根据对勾函数性质在上递减,在上递增,
于是在上递增,此时;
当时,由于,原式可变形为,记,
根据对勾函数性质在上递减,在上递增,于是在上递减,在上递增,
当,当,注意到,故当时,,故.
综上,.
故选:D
9.(2023·四川绵阳·统考模拟预测)已知函数的定义域为,且为与中较大的数,恒成立,则a的取值范围为(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据题意分析可得对恒成立,对整理分析可得:对恒成立,结合二次函数的性质分析运算.
【详解】∵当时,则,可得;当时,则,可得;
∴当时,,
故原题意等价于对恒成立,
整理得,
∵,则,可得,
故原题意等价于对恒成立
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