新高考数学一轮复习 函数专项重难点突破专题05 分段函数(解析版).doc

专题05分段函数

真题再现

1．（2023·北京·统考高考真题）设SKIPIF10，函数SKIPIF10，给出下列四个结论：

①SKIPIF10在区间SKIPIF10上单调递减；

②当SKIPIF10时，SKIPIF10存在最大值；

③设SKIPIF10，则SKIPIF10；

④设SKIPIF10．若SKIPIF10存在最小值，则a的取值范围是SKIPIF10．

其中所有正确结论的序号是____________．

【解析】依题意，SKIPIF10，

当SKIPIF10时，SKIPIF10，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；

当SKIPIF10时，SKIPIF10，易知其图像是，圆心为SKIPIF10，半径为SKIPIF10的圆在SKIPIF10轴上方的图像（即半圆）；

当SKIPIF10时，SKIPIF10，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；

对于①，取SKIPIF10，则SKIPIF10的图像如下，

??

显然，当SKIPIF10，即SKIPIF10时，SKIPIF10在SKIPIF10上单调递增，故①错误；

对于②，当SKIPIF10时，

当SKIPIF10时，SKIPIF10；

当SKIPIF10时，SKIPIF10显然取得最大值SKIPIF10；

当SKIPIF10时，SKIPIF10，

综上：SKIPIF10取得最大值SKIPIF10，故②正确；

对于③，结合图像，易知在SKIPIF10，SKIPIF10且接近于SKIPIF10处，SKIPIF10的距离最小，

??

当SKIPIF10时，SKIPIF10，当SKIPIF10且接近于SKIPIF10处，SKIPIF10，

此时，SKIPIF10，故③正确；

对于④，取SKIPIF10，则SKIPIF10的图像如下，

??

因为SKIPIF10，

结合图像可知，要使SKIPIF10取得最小值，则点SKIPIF10在SKIPIF10上，点SKIPIF10在SKIPIF10，

同时SKIPIF10的最小值为点SKIPIF10到SKIPIF10的距离减去半圆的半径SKIPIF10，

此时，因为SKIPIF10的斜率为SKIPIF10，则SKIPIF10，故直线SKIPIF10的方程为SKIPIF10，

联立SKIPIF10，解得SKIPIF10，则SKIPIF10，

显然SKIPIF10在SKIPIF10上，满足SKIPIF10取得最小值，

即SKIPIF10也满足SKIPIF10存在最小值，故SKIPIF