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福建农林大学考试试卷
课程名称:线性代数考试时间120
专业年级班学号姓名
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总得分
得分
评卷人
得分
评卷人
一、填空题〔每空2分,共24分〕
行列式中,元素-4的余子式M23=;元素2的代数余子式A12=。
=,这个二次型对应的对称矩阵为
,时,这个二次型为正定二次型。
设三阶矩阵A的行列式|A|=,那么|2A|=1,|A-1|=8。
矩阵A=,B=那么AB=;BA=。
向量组=(1,0,-1),=(k,3,0),=(-1,4,k)线性相关,那么k=—3。
中,一次项x的系数为2。
线性方程组AX=β有解,那么。
两个同型矩阵A和B等价的充要条件是秩(A)=秩(B)。
得分
评卷人
二、选择题〔每题3分,共15分〕
假设矩阵AA-1=A-1A
A)|A|=0 B)|A|≠0 C)|A|=k(k1) D)|A|=k(k-1)
A、B均为n阶正交方阵,那么AB必为〔D〕
A)对称阵 B)正定阵 C)负定阵 D)正交阵
设A,B都是n阶方阵,以下各项中正确的选项是〔D〕
假设A、B都是对称阵,那么AB也是对称阵
假设A≠0且B≠0,那么AB≠0
A可逆,AB的秩等于秩〔A〕
假设AB是可逆阵,那么A和B都是可逆阵
设是非齐次线性方程组AX=的一个解,是AX=0的根底解系,那么〔B〕
A),线性相关
B),线性无关
C),的线性组合都是AX=的解
D),的线性组合都是AX=0的解
两个n阶初等矩阵的乘积为〔C〕
初等矩阵 B)单位矩阵 C)可逆矩阵 D)不可逆矩阵
得分
评卷人
三、判断题〔每题2分,共10分〕
n阶行列式D中有多于n2-n个元素为0,那么D=0。(√)
假设矩阵A的列向量组线性相关,那么它们的行向量组也线性相关。(×)
方阵A与它的转置AT因为有相同的特征值,所以有相同的特征向量。(×)
假设AX=b〔b≠0〕有无穷多解,那么AX=0也有无穷多解。(√)
n阶矩阵A的秩为r,那么必有所有r阶子式都不为零。(×)
得分
评卷人
四、计算、解答〔共44分〕
〔8分〕计算行列式
解:原式=
〔4分〕
〔8分〕设X=,求矩阵X
解:〔可用不同方法求A-1〕A*=
A-1= (4分)
X=A-1 (8分)
x
x1+x2-x3=-1
2x1+kx2-2x3=0
kx1+2x2+x3=k
3〔12分〕设问k为何值时,
方程组有惟一解
无解
有无穷解,并求出此时通解
解:增广阵
……4
〔1〕当时,因为,所以方程组无解;……6
〔2〕当且时,因为,所以方程组有唯一解;……8
〔3〕当时,因为,所以方程组有无穷多解,……10
且此时,即方程组的同解于
,所求通解.……12
4.〔8分〕设空间中的一组基:
1、求的内积和夹角
2、试用施密特正交化过程把它化为标准正交基。
解
再把它们单位化,取
5.〔8分〕设A=,求正交阵P,使P-1AP=∧为对称阵。
解:求A的特征值=
=
(2分)
时
由即
得分
评卷人
五、证明题〔每题7分,共7分〕
1、设A*是n阶矩阵A的伴随矩阵,证明=()n-1〔区别=0及≠0两种情形〕
证明:当≠0时,由AA=E,
,,
当=0时,假设R〔A〕<n-1时,那么A=0,,
假设R〔A〕=n-1时,那么R〔A〕=1,
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