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专题14圆锥曲线切线方程
微点2圆锥曲线切线方程的常用结论及其应用
【微点综述】
求解过某一点的圆锥曲线切线方程及相关问题题型,是在高等数学的学习中使用隐函数求导需要解决的常规问题,也是中学的解析几何的常见的较为困难的解题类型.解决这一类性的问题,常用到一个有趣的式子:,简便起见,把它表示为.下面主要探讨圆锥曲线切线方程的常用结论及其应用.
一、圆锥曲线切线方程的常用结论
【结论1】(1)经过圆上一点的切线方程为.
(2)当在圆外时,过M点引切线有且只有两条,过两切点的弦所在直线方程为.
【结论2】(1)若圆心不在原点,圆的方程:,若为圆上一点,则过切线方程:
(2)若在圆外,过M点切线有两条:切点弦所在直线方程:
方便记忆,求切线和切点弦的方法,统一称为“代一留一”.
【结论3】(1)过圆上一点切线方程为;
(2)当在椭圆的外部时,过M引切线有两条,过两切点的弦所在直线方程为.
证明:(1)的两边对x求导,得,得,由点斜式得切线方程为,即,又所求的切线方程为.
(2)设过椭圆外一点引两条切线,切点分别为,.由(1)可知过两点的切线方程分别为:,.又因是两条切线的交点,∴有,.观察以上两个等式,发现,满足直线,∴过两切点两点的直线方程为.
同理可得焦点在轴上的情形.
【结论4】(1)过圆上一点切线方程为;
(2)当在椭圆的外部时,过M引切线有两条,过两切点的弦所在直线方程为.
【结论5】(1)过双曲线上一点处的切线方程为;
(2)当在双曲线的外部时,过M引切线有两条,过两切点的弦所在直线方程为:.
证明:(1)的两边对x求导,得,得,由点斜式得切线方程为,即,又所求的切线方程为.
(2)设过双曲线外一点引两条切线,切点分别为、.由(1)可知过两点的切线方程分别为:.又因是两条切线的交点,∴有.观察以上两个等式,发现,满足直线,∴过两切点两点的直线方程为.
同理可得焦点在轴上的情形.
【结论6】(1)过双曲线上一点处的切线方程为;
(2)当在双曲线的外部时,过M引切线有两条,过两切点的弦所在直线方程为:.
【结论7】(1)过抛物线上一点处的切线方程为;过抛物线的外部一点引两条切线,过两切点的弦所在直线方程为:;
(2)过抛物线上一点处的切线方程为;过抛物线的外部一点引两条切线,过两切点的弦所在直线方程为:;
(3)过抛物线上一点处的切线方程为;过抛物线的外部一点引两条切线,过两切点的弦所在直线方程为:.
(4)过抛物线上一点处的切线方程为;过抛物线的外部一点引两条切线,过两切点的弦所在直线方程为:.
证明:(1)由,求导数得,不妨设y≠0,则,由导数的几何意义知过点M(x0,y0)的切线的斜率为,故所求切线方程为,化简得即,又M(x0,y0)在抛物线上,∴,所以切线方程为(可验证对y0=0,此方程也适用).同理可证情形(2)~(4).
下面的结论是从斜率的角度得到已知曲线的切线方程.
【结论8】(1)斜率为k的双曲线的切线方程为;
(2)斜率为k的双曲线的切线方程为.
证明:(1)设切线方程为,联立方程得:
,
若即,,
令化简可得:,,故切线方程为.
同理可证情形(2).
【评注】,,过双曲线的对称中心不可能作出直线与双曲线相切.
【结论9】(1)抛物线的斜率为k的切线方程为;
(2)抛物线的斜率为k的切线方程为;
(3)抛物线的斜率为k的切线方程为;
(4)抛物线的斜率为k的切线方程为.
证明:(1)设切线方程为,联立方程得,
,化简可得:,故切线方程为.
同理可证情形(2)~(4).
二、圆锥曲线切线方程的常用结论的应用
例1.
1.已知抛物线的一条切线的斜率为3,求这条切线方程.
例2.
2.设椭圆:,点.求椭圆C在点P处的切线的方程.
例3.
3.设双曲线上点P,求双曲线C在点P处的切线的方程.
例4.
4.已知双曲线的一条切线的斜率为2,求这条切线方程.
例5.(2022天津)
5.已知椭圆的右焦点为,上顶点为,离心率为,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线与椭圆有唯一的公共点,与轴的正半轴交于点,过与垂直的直线交轴于点.若,求直线的方程.
例6.
6.已知椭圆与直线相切于点,且点在第一象限,若直线与轴、轴分别交于点、.若过原点O的直线与垂直交与点,证明:定值.
【强化训练】
7.若椭圆的焦点在x轴上,过点作圆的切线,切点分别为A、B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是(???)
A. B. C. D.
8.过点作圆的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为(????)
A. B. C. D.
9.过点作抛物线的两切线,
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