专题14 圆锥曲线切线方程 微点2 圆锥曲线切线方程的常用结论及其应用（解析版）.docxVIP

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专题14圆锥曲线切线方程

微点2圆锥曲线切线方程的常用结论及其应用

【微点综述】

求解过某一点的圆锥曲线切线方程及相关问题题型，是在高等数学的学习中使用隐函数求导需要解决的常规问题，也是中学的解析几何的常见的较为困难的解题类型.解决这一类性的问题，常用到一个有趣的式子：，简便起见，把它表示为．下面主要探讨圆锥曲线切线方程的常用结论及其应用．

一、圆锥曲线切线方程的常用结论

【结论1】（1）经过圆上一点的切线方程为．

（2）当在圆外时，过M点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为．

【结论2】（1）若圆心不在原点，圆的方程：，若为圆上一点，则过切线方程：

（2）若在圆外，过M点切线有两条：切点弦所在直线方程：

方便记忆，求切线和切点弦的方法，统一称为“代一留一”．

【结论3】（1）过圆上一点切线方程为；

（2）当在椭圆的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为．

证明：（1）的两边对x求导，得，得，由点斜式得切线方程为，即，又所求的切线方程为．

（2）设过椭圆外一点引两条切线，切点分别为，．由（1）可知过两点的切线方程分别为：，．又因是两条切线的交点，∴有，．观察以上两个等式，发现，满足直线，∴过两切点两点的直线方程为．

同理可得焦点在轴上的情形．

【结论4】（1）过圆上一点切线方程为；

（2）当在椭圆的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为．

【结论5】（1）过双曲线上一点处的切线方程为；

（2）当在双曲线的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：．

证明：（1）的两边对x求导，得，得，由点斜式得切线方程为，即，又所求的切线方程为．

（2）设过双曲线外一点引两条切线，切点分别为、．由（1）可知过两点的切线方程分别为：．又因是两条切线的交点，∴有．观察以上两个等式，发现，满足直线，∴过两切点两点的直线方程为．

同理可得焦点在轴上的情形．

【结论6】（1）过双曲线上一点处的切线方程为；

（2）当在双曲线的外部时，过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：．

【结论7】（1）过抛物线上一点处的切线方程为；过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：；

（2）过抛物线上一点处的切线方程为；过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：；

（3）过抛物线上一点处的切线方程为；过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：．

（4）过抛物线上一点处的切线方程为；过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：．

证明：（1）由，求导数得，不妨设y≠0，则，由导数的几何意义知过点M（x0，y0）的切线的斜率为，故所求切线方程为，化简得即，又M（x0，y0）在抛物线上，∴，所以切线方程为(可验证对y0=0，此方程也适用)．同理可证情形（2）～（4）．

下面的结论是从斜率的角度得到已知曲线的切线方程．

【结论8】（1）斜率为k的双曲线的切线方程为；

（2）斜率为k的双曲线的切线方程为．

证明：（1）设切线方程为，联立方程得：

，

若即，，

令化简可得：，，故切线方程为．

同理可证情形（2）．

【评注】，，过双曲线的对称中心不可能作出直线与双曲线相切．

【结论9】（1）抛物线的斜率为k的切线方程为；

（2）抛物线的斜率为k的切线方程为；

（3）抛物线的斜率为k的切线方程为；

（4）抛物线的斜率为k的切线方程为．

证明：（1）设切线方程为，联立方程得，

，化简可得：，故切线方程为．

同理可证情形（2）～（4）．

二、圆锥曲线切线方程的常用结论的应用

例1．

1．已知抛物线的一条切线的斜率为3，求这条切线方程．

例2．

2．设椭圆：，点．求椭圆C在点P处的切线的方程．

例3．

3．设双曲线上点P，求双曲线C在点P处的切线的方程．

例4．

4．已知双曲线的一条切线的斜率为2，求这条切线方程．

例5．（2022天津）

5．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．

例6．

6．已知椭圆与直线相切于点，且点在第一象限，若直线与轴、轴分别交于点、．若过原点O的直线与垂直交与点，证明：定值．

【强化训练】

7．若椭圆的焦点在x轴上，过点作圆的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是（???）

A． B． C． D．

8．过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（????）

A． B． C． D．

9．过点作抛物线的两切线，