数下高数三重积分应用.pptx

2024/8/15北京工商大学10-4-1第四节重积分的几何应用重积分的几何应用重积分的物理应用小结习题第十章二重积分与三重积分

2011.2.6北京工商大学10-4-2一、重积分在几何上的应用1.平面区域的面积设有平面区域D,2.体积设曲面方程为则D上的曲顶柱体体积为:则其面积为:重积分的应用把定积分的元素法推广到重积分的应用中.占有空间有界域?的立体的体积为:

2011.2.6北京工商大学10-4-3(1)设曲面S的方程为：如图,3.曲面的面积设小区域则有母线平行于z轴的小柱面,在xOy面上的投影区域为D,重积分的应用

2011.2.6北京工商大学10-4-4曲面S的面积元素曲面S的面积公式重积分的应用)1,,(yxffn--=rnr

2011.2.6北京工商大学10-4-5(3)设曲面的方程为曲面面积公式曲面面积公式(2)设曲面的方程为曲面面积公式(1)设曲面S的方程为重积分的应用

2011.2.6北京工商大学10-4-6解求球面含在圆柱体内部的那部分面积.例由对称性知第一挂限图形曲面方程D1重积分的应用于是,曲面面积元素为

2011.2.6北京工商大学10-4-7D1极坐标重积分的应用qrcosa=

2011.2.6北京工商大学10-4-8例因曲面方程为所以,oxzyD解截下的有限曲面片的面积.被柱面求曲面a重积分的应用

2011.2.6北京工商大学10-4-9例所截的部分的面积.作出图形在第一卦限的A1:则解部分被圆柱面计算圆柱面(如图).a重积分的应用

2011.2.6北京工商大学10-4-10在第一挂限部分面积为整个面积a重积分的应用yxaxaxaad1d220220òò--=

2011.2.6北京工商大学10-4-11(0,0,2a)解解方程组得两曲面的交线为圆周平面上的投影域求由曲面所围立体的表面积.练习oxyz重积分的应用

2011.2.6北京工商大学10-4-12求由曲面所围立体的表面积.重积分的应用

2011.2.6北京工商大学10-4-131989年研究生考题,计算,9分例解由于球为中心对称图形,解得问:R取何值,重积分的应用设半径为R的球面Σ的球心在定球面球面Σ在定球面内部的那部分面积最大?不妨设球面Σ的方程为:因为是求球面Σ在定球面内部的面积,故由方程222yxRaz---=

2011.2.6北京工商大学10-4-14面积元素是又由令重积分的应用即得出球面Σ在定球面内部的那部分在xOy面上的投影区域

2011.2.6北京工商大学10-4-15所以极坐标所以,重积分的应用球面Σ在定球面内部的面积设为A,则

2011.2.6北京工商大学10-4-16二、重积分在物理上的应用1、质心质点系的总质量对x轴的静矩则该质点系的质心的坐标为它们分别位于质量分别为重积分的应用(1)平面薄片的质心对y轴的静矩设xOy平面上有n个质点,

2011.2.6北京工商大学10-4-17由元素法:所以,设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域D,在点(x,y)处的面密度为假定在D上连续,平面薄片的质心薄片中相应于的部分的质量近似等于这部分质量可近似看作集中在点(x,y)上,于是可写出静矩元素:重积分的应用

2011.2.6北京工商大学10-4-18注所以,薄片的质心坐标为当薄片是均匀的,质心称为重积分的应用形心.平面的面积.

2011.2.6北京工商大学10-4-19设物体占有空间域?,有连续密度函数则其质心坐标为常数时,则得形心坐标物体的体积.重积分的应用(2)物体的质心当物体是均匀的,其中1、质心o),,(zyxm即当),,,(zyxm

2011.2.6北京工商大学10-4-20例求位于两圆之间的均匀薄片的质心.解薄片关于x轴对称.则质心重积分的应用

2011.2.6北京工商大学10-4-21一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线的方程为若炉内储有高为h的均质钢液,不计由对称性知质心在z轴上，炉壁方程为故炉体的自重,求它的质心.重积分的应用例解

2011.2.6北京工商大学10-4-22重积分的应用质心为òòò=zDhyxzzddd0

2011.2.6北京工商大学10-4-23(1)平面薄片的转动惯量重积分的应用2、转动惯量设平面薄片占有平面区域D,则转动惯量为有连续密度函数

2011.2.6北京工商大学10-4-24设物体占有空间区域?,重积分的应用(2)物体的转动惯量2、转动惯量则转动惯量为有连续的密度函数

2011.2.6北京工商大学10-4-25重积分的应用例解设一均匀的直角三角形薄板,两直角边长分别求这三角形对任一直角边的转动惯量.为a、b,设三角形的两直角边分别在x轴和y轴上(如图)对y轴的转动惯量为对x轴的转动惯量为ò