湖北省荆州中学2024届高三下学期5月第四次高考适应性考试 数学试卷【含答案】.docx

湖北省荆州中学2024届高三下学期5月第四次高考适应性考试数学试卷

本试卷满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每一小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．

1．函数的最小正周期为

A． B． C． D．

2.已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为

A．4 B．8 C．10 D．12

已知集合，若，则的取值范围为

A. B． C． D．

已知，则被3除的余数为

A.3 B．2 C．1 D．0

如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数、、、的图形．图中四边形 的对角线相交于点，若，则

B． C． D．

已知圆：，直线：，则直线与圆有公共点的必要不充分 条件是

A． B． C． D．

根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归模型 ，求得如右图所示的残差图.模型误差

满足一元线性回归模型的所有假设

不满足一元线性回归模型的的假设

不满足一元线性回归模型的假设

不满足一元线性回归模型的和的假设

任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种 运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角 谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8 个步骤变成1（简称为 8步“雹程”）．我们记一个正整数经过次上述运算法则后首次得到 1（若经过有限次上述运算法则均无法得到1，则记），以下说法正确的是

可看作一个定义域和值域均为的函数

在其定义域上不单调，有最小值，有最大值

C．对任意正整数，都有

D．

选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全 部选对的得6分，若有两个选项正确，选对一个得3分，若有3个选项正确，选对1个得2分，有选 错的得0分．

已知复数，则下列命题正确的是

A．若为纯虚数，则

B．若为实数，则

C．若在复平面内对应的点在直线上，则

D．在复平面内对应的点不可能在第三象限

10.如图，正八面体棱长为2．下列说法正确的是

A．平面

B．当P为棱EC的中点时，正八面体表面从F点到P点的最短距离为

C．若点P为棱EB上的动点，则三棱锥的体积为定值

D．以正八面体中心为球心，1为半径作球，球被正八面体各个面所截得的交线总长度为

11.已知函数的定义域为，且，，则

A． B.关于中心对称

C．是周期函数 D．的解析式可能为

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．

12.已知双曲线C：经过点，则C的渐近线方程为_______．

13.若实数成等差数列，成等比数列，则=_______.

14.设，，，若满足条件的与存在且唯一，则_______， _______.

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）

已知函数

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求证：函数的图象位于直线的下方；

16.（15分）

如图在四面体中，是的中点，是的中点，点在线段上，且.

求证：平面；

，求直线与平面所成角的正弦值.

（15分）

宜昌市是长江三峡起始地，素有“三峡门户”、“川鄂咽喉”之称.为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来宜昌旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观三峡大坝，另外的人计划既参观三峡大坝又游览三峡人家．每位游客若只参观三峡大坝，则记1分；若既参观三峡大坝又游览三峡人家，则记2分．假设每位首次来宜昌旅游的游客计划是否游览三峡人家相互独立，视频率为概率．

从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望；

从游客中随机抽取人，记这人的合计得分恰为分的概率为，求；

从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．

18.（17分）

从抛物线上各点向轴作垂线段，垂线段中点的轨迹为.

求的轨迹方程；

是上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点，

①若，求的值；

②证明：三角形与三角形的面积之比为定值.

19.（17分）

对于数列,如果存在一个正整数,使得对任意,都有成立,那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列,的最小值称作数列的最小正周期,简称周期.

判断数列是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；

设（1）中数列前项和为，试问是否存在,使对任意，都有成立，若存在，求出的取值范围，若不存在,说明理由.

若数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有