专题7.1 数列的概念与简单表示【解析版】.docx

专题7.1数列的概念与简单表示

【核心素养】

与归纳推理相结合，考查数列的概念与通项，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．

2．与函数相结合，考查数列的概念性质，凸显数学抽象、数学运算的核心素养．

3．与递推公式相结合，考查对求通项公式的方法的掌握，凸显逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养．

知识点一

知识点一

数列的概念

1.定义：按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列.

2.对数列概念的理解

（1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．

（2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．

（3）数列是一种特殊的函数

数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.

知识点二

知识点二

数列的分类

分类原则

类型

满足条件

按项数分类

有穷数列

项数有限

无穷数列

项数无限

按项与项间的大小关系分类

递增数列

其中n∈N＋

递减数列

常数列

按其他标准分类

有界数列

存在正数，使

摆动数列

的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…

知识点三

知识点三

数列的通项公式

如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.

知识点四

知识点四

数列的递推公式

如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．

知识点五

知识点五

an与Sn的关系

数列的前项和和通项的关系：则

特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．

知识点六

知识点六

数列的性质

数列的性质----主要指：

（1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列；

（2）数列的周期性.

常考题型剖析

常考题型剖析

题型一：数列的概念与通项公式

【典例分析】

例1-1.（2023·全国·高三专题练习）数列…的一个通项公式为（）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据分子和分母的数字特征，结合正负交替性进行求解判断即可.

【详解】

该数列的一个通项公式为

故选：D

例1-2.（2020·浙江·统考高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列，数列的前3项和是．

【答案】

【分析】根据通项公式可求出数列的前三项，即可求出．

【详解】因为，所以．

即．

故答案为：.

【规律方法】

1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．

2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.

3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.

【变式训练】

变式1-1.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）（多选）数列1，2，1，2，…的通项公式可能为（）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据n的奇偶性分类讨论逐一判断即可.

【详解】对于A，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故A中通项公式正确；

对于B，当n为奇数时，，当n为偶数时，故B中通项公式不正确；

对于C，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故C中通项公式正确；

对于D，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故D中通项公式正确.

故选：ACD

变式1-2.【多选题】（2023春·湖北省直辖县级单位·高二校考阶段练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则（????