专题4.5 导数与函数的零点问题【解析版】.docx

专题4.5导数与函数的零点问题

【核心素养】

1.函数零点问题．主要考查判断函数的零点个数，以及由函数零点或方程的根求参数的值（范围），或者证明与函数零点相关的不等式，凸显数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养．

2.将函数、导数、方程与不等式相结合考查，凸显逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养，也体现命题的创新性.

知识点一

知识点一

解函数零点问题的一般思路

(1)对函数求导．

(2)分析函数的单调性，极值情况．

(3)结合函数性质画函数的草图．

(4)依据函数草图确定函数零点情况．

知识点二

知识点二

利用函数零点的情况求参数范围的方法

(1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；

(2)利用零点的存在性定理构建不等式求解；

(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.

常考题型剖析

常考题型剖析

题型一：函数零点个数的判断与证明

【典例分析】

例1-1.（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数.

(1)求函数在区间上的最小值；

(2)判断函数的零点个数，并证明.

【答案】(1)

(2)有个零点，证明见解析

【分析】（1）对求导，令，，得出在的单调性，结合零点存在性定理可得在上单调递增，在上单调递减，再比较的大小，即可得出答案.

（2）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论，和时，的正负，即可得出证明.

【详解】（1）的定义域为，故，

令，，

当时，，

所以在上单调递减，且，

，

所以由零点存在定理可知，在区间存在唯一的，使

又当时，；当时，；

所以在上单调递增，在上单调递减，

又因为，，

所以函数在区间上的最小值为.

（2）有个零点，证明如下：

因为，，

若，，

所以在区间上单调递增，又，，

结合零点存在定理可知，在区间有且仅有一个零点，

若，则，则，

若，因为，所以，

综上，函数在有且仅有一个零点.

例1-2.（2023·广东东莞·校联考模拟预测）已知函数.

(1)当时，讨论函数的单调性；

(2)当时，证明：对任意的，；

(3)讨论函数在上零点的个数.

【答案】(1)的增区间是，减区间是

(2)证明见解析

(3)答案见解析

【分析】（1）代入，求出导函数，根据导函数，即可得出函数的单调区间；

（2）代入，求出导函数.构造函数二次求导，即可推得在单调递增，根据，即可得出的单调性，进而得出证明；

（3）易知，当时，，所以没有零点；当时，求出导函数，构造函数，二次求导可得出的单调性.进而结合特殊点的导数值，结合零点存在定理，即可得出的单调性.然后根据端点处的函数值，即可得出函数零点的个数.

【详解】（1）当时，，.

当，，所以在上单调递增；

当，，所以在上单调递减.

所以的增区间是，减区间是.

（2）当时，，

则.

设，则.

由（1）知时，所以，

所以，，即在单调递增，所以，

所以在单调递增，所以.

（3）

当时，，，

所以.

由（2）知，此时，所以没有零点.

若时，的导函数.

令，则.

令，则.

①当时，在上恒成立，

所以，即在上单调递增.

又，，

所以在上存在唯一零点，记作.

则当时，，所以在上单调递减；

当时，，所以在上单调递增.

②当时，，所以在上恒成立，所以在上单调递增.

综合①②，可得当时，单调递减；当时，单调递增.

又因为，所以，当时，，；

又，所以存在唯一实数，使得.

所以当时，，此时单调递减；

当时，，此时单调递增.

又因为，所以时，，所以在上没有零点.

由（1）知时，，则.

又，在上单调递增，所以在上存在唯一零点.

所以，在上存在唯一零点.

综上，当时，在上无零点；

当时，在上存在唯一零点.

【点睛】关键点睛：构造函数，结合零点存在定理得出导函数的单调性，进而得出函数的单调性.

【规律方法】

1.利用导数判断或证明函数零点个数的策略:借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负以及函数的单调性判断函数图象的走势，从而判断零点个数.

2.常用方法：

（1）直接法：直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题．

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）分离参数法：分离出参数，转化为a＝g(x)，根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可．

【变式训练】

变式1-1.（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）已知函数，.

(1)当时，证明：在上恒成立；

(2)判断函数的零点个数.

【答案