专练02 不等式恒成立问题【原卷版】.docx

专练02不等式恒成立问题

热点题型速览

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热点一

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二次不等式在R上的恒成立问题

1.（2023春·天津红桥·高一天津三中校考期中）关于的不等式的解集为，则的取值范围是（????）.

A． B． C． D．

2.（2022秋·江西宜春·高一校考阶段练习）已知函数的定义域为，则实数的范围________.

3．（2023·全国·高三专题练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是________．

4．（2023春·浙江·高一校联考期中）已知对任意，均有不等式成立，其中.若存在使得成立，则的最小值为___________.

5．（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）当a为何值时，一元二次不等式(a－4)x2＋10x＋a＜4的解集为R?

【点评】

1.二次不等式在全集R上恒成立，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方；

2.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

热点二

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二次不等式在给定区间上的恒成立问题

6．（2023·福建·统考模拟预测）已知，恒成立，则的一个充分不必要条件是（????）

A． B． C． D．

7．（2023春·江苏泰州·高一泰州中学校考期中）在中，内角，，，.若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

8．（2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试）对于任意实数及，均有，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

9．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数的定义域为，且为与中较大的数，恒成立，则a的取值范围为（????）

A． B． C． D．

10.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.

11．（2018·天津·高考真题（文））已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．

12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

【点评】

1.若f(x)0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．

2.处理方法有，充分结合函数图象进行分类讨论或采用分离参数的方法．分离参数法即，转化为函数最值，如：a＞f(x)能成立?a＞f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.

热点三

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二次不等式能成立或有解问题

13．设a∈R，若关于x的不等式x2－ax＋1≥0在区间[1,2]上有解，则()

A．a≤2 B．a≥2

C．a≥ D．a≤

14.（2023·湖南长沙·高二长郡中学）若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（????）

A． B． C． D．

15.（2023·河南新乡·统考三模）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有成立，则的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

16．（2023·上海宝山·统考二模）已知函数（且），若关于的不等式的解集为，其中，则实数的取值范围是_________．

热点四

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给定参数范围的恒成立问题

17．(2021·海滨区模拟)若mx2－mx－10对于m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围为________．

18.（2019·浙江·高考真题）已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____.

19.（2023春·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考期中）设，，函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若在上的最大值为，求的取值范围；

(3)当时，对任意的正实数，，不等式恒成立，求的最大值.

【点评】

1.转化与化归思想方法，是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为易解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．不等式恒成立通过分离参数，转化为函数最值问题．

2.此类问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．

3.换元思想能使问题简化.

热点五

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均值不等式求解恒成立问题

20．（2022秋·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中）若命题“对任意的，恒成立”为真命题，则m的取值范围为（????）

A． B． C． D．

21（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知正数，满足，若不等式恒成立，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

22．（2023·广东湛江·统考二模）当，时，恒成立，则m的取值范围是（????）

A． B． C． D．

23．（2023·黑