新高考数学二轮复习重难点6-3 立体几何外接球与内切球问题（12题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.doc

重难点6-3立体几何外接球与内切球问题

有关多面体外接球和内切球的问题，是立体几何的一个重点和难点，也是高考的热门考点，要求学生具有较强的空间想象能力和准确的计算能力。新高考考查一般出现在选择题与填空题，难度中上。

【题型1正方体与长方体的外接球】

满分技巧

1、长方体的外接球：长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则SKIPIF10

2、正方体的外接球：正方体的棱长为a，外接球半径为R，则SKIPIF10

长方体的外接球正方体的外接球

【例1】（2022·吉林长春·高三长春十一高校考阶段练习）若一个正方体的顶点都在球面上，则该正方体表面积与球表面积的比值是（）

A．SKIPIF10B．SKIPIF10C．SKIPIF10D．SKIPIF10

【答案】B

【解析】设正方体的边长为SKIPIF10，则正方体的体对角线SKIPIF10，

则正方体的表面积为SKIPIF10，球的表面积为SKIPIF10，

所以该正方体表面积与球表面积的比值是SKIPIF10，故选:B.

【变式1-1】（2024·四川·高三校联考期末）在长方体SKIPIF10中，SKIPIF10，侧面SKIPIF10的面积为6，SKIPIF10与底面SKIPIF10所成角的正切值为SKIPIF10，则该长方体外接球的表面积为．

【答案】SKIPIF10

【解析】在长方体SKIPIF10中，因为侧面SKIPIF10的面积为6，所以SKIPIF10，

因为SKIPIF10与底面SKIPIF10所成角的正切值为SKIPIF10，

所以SKIPIF10，结合SKIPIF10，可得SKIPIF10，

所以该长方体外接球的半径为SKIPIF10，

表面积SKIPIF10．

【变式1-2】（2024·四川成都·高三石室中学校考期末）已知长方体SKIPIF10在球SKIPIF10的内部，球心SKIPIF10在平面SKIPIF10上，若球的半径为SKIPIF10，SKIPIF10，则该长方体体积的最大值是（）

A．4B．8C．12D．18

【答案】A

【解析】设长方体SKIPIF10的高为h，

设SKIPIF10a，则SKIPIF10，所以SKIPIF10，

若要长方体体积最大，则平面SKIPIF10内接与长方体，

所以得SKIPIF10，即SKIPIF10得SKIPIF10，

所以长方体SKIPIF10的体积为SKIPIF10，

设SKIPIF10，其中SKIPIF10，

则SKIPIF10，令SKIPIF10，得SKIPIF10，

当SKIPIF10时，SKIPIF10，SKIPIF10在SKIPIF10上单调递增；

当SKIPIF10时，SKIPIF10，SKIPIF10在SKIPIF10